IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION d'iNTÉGRALE. I

Si |JL > I , le terme -— ^ augmente indéfiniment lorsque s tend vers zéro; au contraire, si [jl est moindre que un, on peut écrire —^ = e*~l*, et Ton voit que ce terme tend vers zéro avec e. L'intégrale définie tend donc vers une limite

si ijL = I , on a

et le second membre augmente indéfiniment lorsque s tend vers zéro. En résumé, pour que l'intégrale considérée ait une limite, il faut et il suffit que ix soit moindre que un, La courbe qui a pour équation

admet la droites = a pour asymptote, si [jl est positif. Cependant Taire comprise entre l'axe des x^ une ordonnée fixe x = 6, la courbe et son asymptote a une valeur finie, d'après ce qu'on vient de voir, pourvu que l'on ait |jl < i.

Lorsqu'on ne connaît pas de fonction primitive de f{x)^ on procède par comparaison avec des intégrales connues. On prend le plus souvent l'intégrale précédente comme terme de comparaison, ce qui conduit à quelques règles pratiques, suffisantes dans beaucoup de cas. Observons d'abord que la limite supérieure b n'intervient pas dans les raisonnements, car tout dépend de la façon dont y*(^) devient infinie pour :r =: a. On peut remplacer b par un nombre quelconque c compris entre a et &, ce qui

revient à écrire / = / + / • ^^ particulier, si /(^) n'a pas

une infinité de racines dans le voisinage de a: = a, on peut supposer quey(a:) conserve un signe constant entre a et c.

Nous établirons d'abord le lemme suivant : Soit y(^) une foncer lion positive dans V intervalle (a^ 6), telle que 1 (f(x)dx ait

une limite. Si l'on a constamment |/(^)|<f(^ dans cet

igS CIlAPiTRB IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

intervalle, V intégrale définie 1 /{x)dxa aussi une limile.

a-ht

Si /(^r) est positive, la démonslration est immédiate. On a, en effet, puisque /(a?) est moindre que <p(^),

Jf f{oc)dx< I tf(x)dx;

d'ailleurs i /(x)dx augmente lorsque e diminue, puisque tous

ses éléments sont positifs. LMnégalité précédente montre qu'elle est constamment moindre que la limite de la seconde intégrale; elle a donc elle-même une limile. Si/(:c) était négatif entre a et 6, on n'aurait qu'à changer le signe de tous les éléments. Enfin, si la fonction /(^) a une infinité de racines dans le voisinage de a: := a, nous pouvons écrire

f Ax)dx=f [f(x)-^\f{x)\]dx- f \f{x)\dx.

La seconde intégrale du second membre a une limite puisque 1/(^)1 < T(^)' D'autre part, la fonction f{x) + |/(^)| est positive ou nulle entre a et 6, et sa valeur absolue ne peut être supérieure à 'i^[x)\ l'intégrale

a donc aussi une limite. On déduit de là que, si une fonction /(a:) ne tend vers aucune limite pour x = a^ tout en restant inférieure en valeur absolue à un nombre fixe, l'intégrale a une limile. Par

exemple, l'intégrale / sin- dx a une valeur déterminée.

Règle pratique, — Supposons que la fonction /(^) puisse se mettre sous la forme

la fonction ^{x) restant finie lorsque j; tend vers t^. Siona it.<!^i, et si la fonction ^{x) reste moindre en valeur absolue qu'un nombre fixe M, l'intégrale a une limite. Si l'on a jjl^ i, et si la