IV. ~ BXTBN8I0NS DIVERSES OE Lk NOTION d'iNTÊGRALE

valeur absolue de ^(^) est supérieure â un nombre positif m y l^ intégrale n'a pas de limite,

La première partie de la proposilion est immédiate. En efTet, la

valeur absolue de J{x) sera moindre que . — -- — —> et rinlégrale

de cette dernière fonction a une limite, puisqu'on suppose [x <C i* Pour démontrer la seconde partie, observons d'abord que ^(a?), restant supérieur en valeur absolue à un nombre positif m, conserve un signe constant dans le voisinage dex = a. Supposons ^ (a;) ]> o entre a et b\ nous pouvons alors écrire

rt+e «^4+4

et la seconde intégrale augmente indéfiniment, lorsque s diminue. Ces règles sufliseot toutes les fois qu'on peut trouver un exposant |ji tel que le produit (x — a)^f{x) ait, pour a?=:a, une limite K différente de zéro. Si [x est inférieur à un, on peut prendre la limite b assez voisine de a pour que l'on ait dans l'intervalle (ez, 6),

(ar — a)l*

L étant un nombre positif, supérieur à |K|. L'intégrale a donc une limite. Au contraire si [x^i, on peut prendre b assez voisin de a pour que l'on ait, dans l'intervalle (a, 6),

l étant un nombre positif inférieur à |K[. D'ailleurs la fonction/"( a:), étant continue, conserve un signe constant et, par suite,

l'intégrale / f{x)dx augmente indéfiniment en valeur absolue.

P Exemples, — Soit/(^) = ^r une fonction rationnelle; si a est

une racine d'ordre m du dénominateur, le produit {x — a)"^f{x) tend vers une limite différente de zéro pour x^=a. Gomme m est

au moins égal à un, on voit que l'intégrale / f{x)dx croît au

dfelà de toute limite lorsque e tend vers zéro. Supposons au con-

200 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DEFINIES.

traire

P et R étant deux polynômes et R (x) étant premier avec sa dérivée ;

a étant une racine de R(^), le produit {x — ay/(x) a une limite

pour X = a\ l'intégrale a donc elle-même une limite. Ainsi

a pour limite - pour e = o.

Prenons encore l'intégrale / \ogxdx] le produit a:*loga: a

zéro pour limite; à partir d'une valeur de x assez petite on peut

donc écrire log^<[Mj7 ', M étant un nombre positif choisi à volonté. L'intégrale a donc une limite.

Tout ce qui a été dit de la limite inférieure a peut être répété sans modification pour la limite supérieure b. Si la fonction y(^)

est infinie pour :r =: 6, on définira l'intégrale / /(x)dx comme

/{^) ^'^y lorsque e' tend vers zéro. Si

/{x) est infinie aux deux limites, on définira / /(x) dx comme la limite de l'intégrale / /(^) dx^ lorsque e et e' tendent vers zéro,

indépendamment l'un de Tautre. Soit c un nombre quelconque compris entre a et 6; nous pouvons écrire

f nx)dx= l f{x)dx-^ / f{x)dx,

et chacune des intégrales qui sont au second membre doit admettre une limite. Enfin, s\/(x) devient infinie pour une valeur c com-

prise entre a et è, on définit l'intégrale / /(x)dx comme la

f f{x)dx, I f(x)dxy