IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION d'INTÉGRALE. 20I

el l'on procède de la même façon pour un nombre quelconque de discontinuités comprises entre a et b.

Il est à remarquer que la formule fondamentale (6), qui a élé établie en supposant/(a:) continue enlre a el 6, s'applique encore si y(^) devient infinie entre ces limites, pourvu que la fonction primitive F(^) reste continue. Pour fixer les idées, supposons que la fonction fi^oc) ne devienne infinie que pour une valeur c comprise entre a et 6. On a

I /(x)da: = \\m 1 f{x)dx-^\\m l f{x)dx\

si F(x) est une fonction primitive dey*(^), nous pouvons écrire ceci :

/(ar) rfa? = lira F(c — e') — F(a) -+- F(6) — lim F(c -^ s). e'=o e=o

La fonction F(:r) étant supposée continue pour j? = c, F(c-i- s) et F(c — e') ont la même limite F(c), et par suite il reste

b /ix)dx = F(b)-F(a),

Par exemple

Si la fonction primitive F(x) devient elle-même infinie entre a et 6, la formule n'est plus applicable, car l'intégrale qui est au premier membre n'a, du moins jusqu'à présent, aucune significatioo.

Les formules du changement de variable et de l'intégration par parties s'étendent de la même façon aux nouvelles intégrales, en les considérant comme limites d'intégrales ordinaires.

90. L'une des limites devient infinie. — Soit/(:r) une fonction continue de x pour toute valeur de x supérieure à un nombre a.

L'intégrale / /(x)dx, où />> a, a une valeur finie, aussi grand

que soit /; si cette intégrale tend vers une limite lorsque / augmente

indéfiniment, on représente cette lirnite par / f(x)dx.

203 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DEFINIES.

Lorsqu'on connaît une fonction primitive de f{x)^ il est facile de voir si Tintégrale a une limite. Ainsi Ton a

' dx

= arc tang/;

lorsque / augmente indéfiniment, le second membre a pour limite -y et nous pouvons écrire

dx TT