I -h /i*ir*sin»a

arc tang(/i -h n'ir* tangar)

X variant de mz à (/i-hOir, tangj? devient infinie une seule fois en passant de -4- 30 à — x; donc l'intégrale est égale (n° 11) à - et l'on a

/i-f-n»iT«

(n-f-ï)-» (nH-i)

La série I.an étant convergente, l'intégrale / /{x) dx a une limite.

Il est d'ailleurs évident que, sïf{x) a une limite h différente de zéro pour X infini, l'intégrale ne peut avoir de limite, car, à partir d'une valeur

ao6 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

assez grande de x,f{x) sera supérieur en valeur absolue à

et gardera

un signe constant.

Les raisonnements qui précèdent offrent une grande analogie avec ceux que l'on emploie dans l'étude des séries. Le lien intime qui existe entre les deux questions a été mis en évidence par un théorème de Gauchy, qui sera exposé plus loin (Ghap. VIII); on verra en même temps de nouveaux critères permettant de reconnaître si une intégrale a une limite ou non, dans des cas plus étendus que ceux que nous avons traités.