La fonction r(a). — L'intégrale défînie

(25) r(a)= / x<^-^e'-'dx

a une valeur déterminée, pourvu que a soit positif. Gonsidérons en effet les deux intégrales

/ x<^-^ e~' dx, I x^-^ e~* dx.

où £ est un nombre positif très petit, et / un nombre positif très grand. La seconde intégrale a toujours une limite, car à partir d'une valeur de x

assez grande on a a?«-*e--^< — r> ce qui revient à écrire ^> ar*-»"*. Quant

à la première intégrale, le produit x^—^/(x) a pour limite i lorsque x tend vers zéro; pour que l'intégrale ait une limite, il faut et il suffît que i — a soit inférieur à un, ou que a soit positif. Supposons cette condition remplie; la somme des deux limites est la fonction T(a), appelée aussi intégrale Eulérienne de seconde espèce, Gette fonction r(a) devient infinie lorsque a tend vers zéro; elle a une valeur positive pour toute valeur positive de a, et augmente indéfiniment avec a. Elle présente un minimum pour X = i,46i632i . . ., et la valeur correspondante est o,8856o32.,..

Intégrons par parties la formule (i5) et supposons a>i; en considérant e-' dx comme la différentielle de — c-*, il vient

r(a)=— [ar«-*e-*]J*4-(a — i) 1 ar«-«c-*rfar;

mais le produit x^-^e-^ est nul aux deux limites, puisque a>i, et il reste

L'application répétée de cette formule permet de ramener le calcul de r(a) au cas où l'argument a est compris entre o et i. Il est facile d'en déduire la valeur de r(a), lorsque a est un nombre entier. On a d'abord

r(i)=: / c-*ûte= --[e-*]v=i;