IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D INTÉGRALE
la formule précédente donne ensuite successivement, en faisant a = i,
r(a)=r(i)=:i, r(3) = ar(2) = i.2,
et, d'une manière générale, si n est un nombre entier positif,
93. Intégrales currilignes. — Soient AB un arc de courbe plane continu, et P{Xyy) une fonction continue de deux variables x^y le long de AB (x, y désignant les coordonnées d'un point de AB par rapport à deux axes situés dans son plan). Prenons sur Tare AB un certain nombre de points de division m\^ m^, . . ., nii, ..., de coordonnées (j:j,yi), (0:2, >^j ),.-., (a:/, j^i), .•.,et sur chacun des arcs m/i />?/ prenons encore un point /î/ à volonté, de coordonnées (Ç,, 7)/). Considérons la somme
. gs ( P(5i,^i)(^i — «) + P(5î.»îj)(-^ï — -ï^Oi----
étendue à tous les intervalles partiels; lorsque le nombre des points de division augmente indéfiniment, de façon que chacune des différences Xi — xu^ tende vers zéro, la somme précédente lend vers une limite que l'on appelle Vintégrale curviligne de P(x, ^) étendue à l'arc AB, et que l'on représente par le symbole
f ^{x,y)dx.
Pour démontrer l'existence de cette limite, supposons d'abord <|u'une parallèle à Oy ne puisse rencontrer l'arc AB en plus d'un point. Soient a et 6 les abscisses des points A et B el y ■= ^{x) l'équation de l'arc AB; ^{x) est une fonction continue de x dans l'intervalle (a, 6). Si Ton remplace^ par ^{x) dans P(j?,y), le résultat est également une fonction continue ^{x) = P[a?, f (^)], €t l'on a
La somme précédente peut donc s'écrire
♦(îiX^i — a) H- *(îî)(ari— a?,) -♦-. . .4- *($/)(iF, — ar/-,)-f-. . . ;
•io8 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.
elle a donc pour limite l'intégrale définie ordinaire
et, par suite,
fv{x,y)dx= Ç P[T,o(a:)]rfar.
Si une parallèle à Taxe Oy peut rencontrer l'arc AB en plus d'un point, on partagera cet arc en plusieurs autres dont chacun n'est rencontré qu'en un point par une parallèle à O^. Étant donné, par exemple, un arc de courbe tel que ACDB {Jig* i4)> soient C
Fig. i4.
JD
et D les points où l'abscisse est maximum ou minimum. Chacun des arcs AC, CD, DB satisfait à la condition précédente, et nous écrirons
Ç P{x,y)dx= f P(x,y)dx-h f P{Xyy)dx^ f P{x,y)dx;
mais il est à remarquer que, pour calculer les trois intégrales du second membre, on devra remplacer y par trois fonctions différentes de la variable x dans P(;r, y).
Les intégrales curvilignes / Q^{x, y)dy se définissent de la
même façon; ces intégrales, comme on le voit, se ramènent immédiatement aux intégrales définies ordinaires, mais leur introduction se justifie par leur utilité. Nous ferons remarquer aussi que l'arc de courbe AB peut se composer de portions de courbes absolument distinctes, telles que droites, arcs de cercle, etc.
Un cas très fréquent dans les applications est celui où les coor-
