IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION d'INTÉGRALE

données d'un point de l'arc AB peuvent s'exprimer en fonction d'un paramètre variable

o(i) et ^{t) étant des fonctions continues de /, ainsi que les dérivées o'(/), ^'(^); nous supposerons que, t variant de a à ^, le point (j^,y) décrit l'arc AB en marchant toujours dans le même sens. L'intervalle (a, ^) étant divisé en intervalles partiels plus petits, soient f|i et ti deux valeurs consécutives de t auxquelles correspondent sur l'arc AB deux points mi^i et m/, de coordonnées (xi^i.yui) et {xi^yi). On a

9/ étant compris entre /|< et ^i, et à cette valeur 6/ correspond un poinl (Ç|, Tji) de l'arc mi^ mi. Nous pouvons donc écrire

et, en passant à la limite,

«>'ab «/a

On obtiendrait de la même façon une formule analogue pour f Q^dy et, en ajoutant les deux formules, il vient

(29) f Fdx-^Qdy=: f [P^'(t)-i-(i^'{t)]dt;

c'est la formule du changement de variable dans les intégrales curvilignes. Bien entendu, si l'arc de courbe AB se compose de portions de courbes distinctes, les fonctions ?(^) et t{/(^) n'auront pas la même expression tout le long de AB, et l'on appliquera la formule à chacune des portions séparément.

94. Aire d'une courbe fermée. — Nous â^vons défini plus haut l'aire de la portion du plan limitée par un arc de courbe AMB, une droite ne rencontrant pas l'arc AMB et les deux perpendiculaires AAq, BBo abaissées des points A et B sur cette droite (n*** 65, 78, ^g. g). Considérons maintenant une courbe fermée continue de forme quelconque; nous entendons par là le lieu G. i4

210 CHAPITRE lY. — INTÉGRALES DÉFINIES.

décrit par un point M dont les coordonnées sont des fonctions continues x=/{t), yz=o(t) d'un paramètre /, qui reprennent les mêmes valeurs lorsque t croît de /o à T. Ces fonctions /(/) et ^(t) peuvent d'ailleurs avoir des expressions tout à fait différentes entre les limites /o et T; c'est ce qui arrivera si le contour fermé C se compose d'arcs de courbes distinctes. Considérons sur la courbe C un certain nombre de points Mo, M^, Mj, . . ., M||, M,-, . . ., M/,i, Mo correspondant à des valeurs ^09 ^i? ^2» • • •) du paramètre, croissantes de to à T. En joignant ces points dans l'ordre où ils se succèdent sur la courbe, on obtient un polygone inscrit dans cette courbe; on appelle aire de la courbe fermée C la limite vers laquelle tend l'aire de ce polygone lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment, de façon que chacun des côtés tende vers zéro (* ). Cette définition est bien d'accord avec celle qui a été adoptée dans le cas particulier rappelé plus haut; car si l'on décompose le polygone AoAQ^Qa . . . BBoA© en petits trapèzes par des parallèles à la droite AAo, Taire de l'un de ces petits Ira-

pèzes a pour expression {Xi — xu^ ) "^ — ^^ — » ce qui peut

encore s'écrire i^xi — xi^x )/{^i)^ 5« étant compris entre Xi^^ et Xi.

L'aire polygonale a donc pour limite l'intégrale définie \ f{x) dx.

Considérons maintenant une courbe fermée C qui ne peut être rencontrée en plus de deux points par une droite parallèle à une direction fixe. Choisissons pour axe des y une droite parallèle à cette direction et pour axe des x une droite perpendiculaire, de telle façon que la courbe C soit tout entière dans l'angle ^Oj^(/^. i5).

Les points du contour C se projettent sur Ox suivant les points d'un segment a6, et toute parallèle à Oy menée par un point de ab rencontre le contour C en deux points seulement m\ et m^. Soient yxz=ifx{x) et j/"a = <];a(a?) les équations des deux arcs de courbe Am|B et A/Tt^B. Supposons, pour plus de clarté, que les points A et B du contour C qui se projettent en a et 6 soient des sommets de la ligne polygonale. L'aire du polygone inscrit dans le

(*) On suppose, bien entendu, que la courbe considérée n'a pas de point double, et que les côtés du polygone inscrit sont assez petits pour que le périmètre de ce polygone n'ait pas lui-même de point double.