III. — NOTATION DIFFERENTIELLE

qui est égal à • -

Le numérateur de ce rapport est toujours nul; il a donc zéro pour limite, et nous sommes conduits à écrire yj;y= o (*).

m. — NOTATION DIFFERENTIELLE.

La notation difTérentielle, la plus ancienne des notations employées, est due à Leibniz. Quoiqu'elle ne soit pas indispensable, elle oflre des avantages de symétrie dans les formules et de généralité qui sont très appréciables, surtout dans l'étude des fonctions de plusieurs variables. L'origine de cette notation se trouve dans la considération des infiniment petits.

14. Différentielles. — On appelle quantité infiniment petite, ou simplement infiniment petit, toute quantité variable qui tend vers zéro. La condition que la quantité soit variable est essentielle ; une quantité constante, aussi petite qu'on la suppose, n'est pas un infiniment petit.

Habituellement on considère plusieurs quantités qui sont infiniment petites en même temps, et l'on choisit l'une d'elles comme terme de comparaison ; c'est Vinfiniment petit principal. Soit a cet infiniment petit principal, et ^ un autre infiniment petit;

on dit que ^ est infiniment petit par rapport à a, si le rapport -

tend vers zéro. Au contraire, on dit que ^ est un infiniment petit

(') On peut faire des remarques analogues pour les fonctions d'une seule Tariable. Par exemple, la fonction f{x) = â;^cos— a pour dérivée

f'ix) = Sip'cos — h X sin-»

tlf*{x) n'admet pas de dérivée pour x — o. Cependant le rapport

/(2a)-Q/(at)+/(o)

ou 6s ces aa cos- a pour limite zéro lorsque ot tend vers zéro.

du premier ordre si le rapport - tend vers une limite K différente de zéro. S^il en est ainsi, on a

£ étant un autre infiniment petit; on en tire

P = a(K-+-e)=Ka+a£,

et Ka s'appelle la partie principale de p. Le terme complémentaire ae est infiniment petit par rapport à la partie principale. D'une manière générale, si l'on peut trouver une puissance positive

de a, telle que a", de façon que le rapport -^ tende vers une

limite finie K différente de zéro, ^ est un infiniment petit d'ordre /i. On a alors

P = a'»(K-he)=Ka«H-a«e;

Ka" s'appelle encore Idi partie principale.

•Cela posé, soity ==f(^x) une fonction continue admettant une dérivée /*'( aï); attribuons à ^ un accroissement Aj:, et désignons par A/ Taccroissement correspondant de y. D'après la définition même de la dérivée, on a

e tendant vers zéro en même temps que Aar; si l'on considère £ix comme Tinfiniment petit principal, Ay est lui-même un infiniment petit dont la partie principale esi/'(x)^. C'est cette partie principale qu'on appelle la différentielle de^ et qu'on représente par rf^

Lorsque la fonction /(^r) se réduit à œ, la formule précédente se réduit à dx = Aj:, et l'on écrit pour plus de symétrie

dy=/'(a:)dx, mais en convenant de considérer l'accroissement dx de la variable

m. — NOTATION DIFFERENTIELLE.

indépendante comme une quantité constante, d^ailleurs quelconque.

(Considérons sur la courbe G, représentée par l'équation^ =f{jx) ,

Fig. I.

les deux points M et M' d'abscisses x (tV x -r- dx. Dans le triangle MTN on a

NT = MN tangfMN = dxf{x) ;

NT représente donc la diiïérentielle dy^ tandis que ù^y est égale à N!Vf . 11 est visible sur la figure que la partie M'T est infiniment petite par rapport à NT, lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M.

Les différentielles successives se définissent de proche en proche comme les dérivées successives. Ainsi l'on appelle différentielle du second ordre la différentielle de la différentielle du premier ordre, dx étant toujours considéré comme une constante^ et on la représente par d^y

d>y = d{^dy) = [f{x) dx] dx =f\x) dx^. On a de même pour la diff(érentielle troisième

d^y = d{d^y) = [/'"(x) dx*] dx =/'"(a:) dx\

et ainsi de suite. D'une manière générale, la diff'érentielle d'ordre /i, qui se définit comme la diff'érentielle de la diff'érentîelle d'ordre n — i , a pour expression

d^y —fin)(^x)dx».

Les dérivées /'(x), f'{x), . . ., /^"H^), • • • peuvent inversement s'exprimer au moyen des diff'érentielles, et Ton a une nouvelle

24 CIIAPITRR I. — DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES.

notalion pour représenter les dérivées

A chaque règle pour calculer une dérivée correspond une règle pour calculer une différentielle. On a, par exemple,

dx"* = m a;'»-* dx^ da^ = a' log a dx,

d\osx=- — f dsinx = cX)sxdXj ...,

, . dx dx

aarcsina?= j=r-^r:=^i aarctanga: =

Arrêtons-nous un moment sur le cas d'une fonction de fonction. Soity =f(^u)^ u étant une fonction de la variable indépendante x ; on a

yx=/'(")«i,

et, en multipliant les deux membres par dx, il vient

y'xdx =f'(u) X u'jcdxy

c'est-à-dire

dy =f'{u) du,

La formule qui donne dy est donc la même que si u était la variable indépendante. C'est là un des avantages de la notation différentielle. Avec la notation des dérivées, on a deux formules différentes

pour représenter la dérivée de y par rapport à x, suivant que y est donné directement en fonction de x, ou que y dépend de x par l'intermédiaire d'une autre fonction u. Avec la notation différentielle, la même formule s'applique aux deux cas. S\y ==/'(«, i^, w) est une fonction composée, on a

et, en multipliant par dx, il vient

y'xdx = u'jcdx/'a-^ v'j;dx/'^,-h w'j;.dxf^^

c'est-à-dire

dy = fa du -h/'ç dv H- /iv dw .

Ainsi

u dv

d(ui>) — udv -h i>duj dl-j= — ^^

m. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE. 2^

Les mêmes règles permettront de calculer les différentielles successives. Soit, par exemple, à calculer les différentielles successives d'une fonction de fonction y=zf(^u); on a déjà trouvé

d/=f\u)du.

Pour calculer d^y^ il faut remarquer que du ne doit pas être traité comme constant, puisque u n'est pas la variable indépendante. On a donc à calculer la différentielle d'une fonction composée y'(w)rfa, où u et du sont deux fonctions intermédiaires, ce qui donne

Pour calculer d^y, il faudra considérer d^y comme une fonction composée avec trois fonctions intermédiaires w, du, d'^u\ on trouve de cette façon

d^y - /'"(^u) du^-\- Zf {u) du d'^u -^ f {u) d^u,

et ainsi de suite. Il est à remarquer qu'à cause des termes en d^u^ d^ «/,... les formules qui donnent les différentielles d^y, d^y, . . . ne sont plus les mêmes que si u était la variable indépendante. Les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables se représentent par une notation analogue. Ainsi la dérivée partielle d'ordre n de /(x, y, z) qui est représentée, dans la notation de Lagrange, par f^^p\-^-r est représentée, dans la notation de Leibniz, par

dxPdyidz'''

cette notation est purement symbolique et ne représente nullement un quotient, comme dans le cas d'une fonction d'une seule variable indépendante.

15. DifTérentielles totales. — Soit co =f{x, y^ z) une fonction de trois variables indépendantes Xy y^z] on appelle différentielle totale dio l'expression suivante

. àj . âf . àf . dia = ^ dx -^ -j- dy -^ ^ dzy dx ày '' dz

OÙ dXy dyy dz sont trois accroissements constants, d'ailleurs arbitraires, attribués aux variables indépendantes x, y^ z. Les

trois produits ~ dx^ -p dy^ — ■ dz sont les dilTérentielles partielles.

La différentielle totale du second ordre rf^co est la différentielle totale de la différentielle totale du premier ordre, les accroissements dxj dy, dz restant constants et toujours les mêmes quand on passe d'une différentielle à la suivante. On a donc

f* j/ f V à diù , d dtii , d diù ,

^ âr dy "^ dz

ou, en développant,

l'à'f ., , àV^.. . à\f .àx dy

diw^l^dx^ -^ dy -4- ^ ^ dz ] dx