IC

l'intégrale curviligne étant prise le long du contour fermé C dans le sens direct. Cette intégrale ne changeant pas, quand on déplace l'origine des coordonnées, la formule subsiste, quelle que soit la position du contour C par rapport aux axes de coordonnées. ^ Considérons maintenant un contour C de forme quelconque.

im CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

Nous supposerons qu'on peut, en menant des transversales joignant deux points de C, obtenir des contours partiels dont chacun n'est rencontré qu'en deux points par une droite parallèle à Oy. Tel est le cas de la région limitée par le contour C de X'^Jig, i6

Fig. i6.

nv

que l'on décompose au mojen des transversales aô, crf, en trois régions limitées respectivement par les contours amha^ abndcqa^ cdpc^ à chacune desquelles on peut appliquer la formule précédente. En ajoutant les résultats obtenus, les intégrales curvilignes provenant des lignes auxiliaires aô, cd se détruisent, et l'aire

limitée par C est encore égale à l'intégrale curviligne — 1 y dx,

prise le long de C dans le sens direct.

On démontre de la même façon que l'on a

(3i) û= f xdy,

et, en combinant les deux formules, il vient (32) Q= ^ j xdy—ydxy

les intégrales étant toujours prises dans le sens direct.

Par exemple, l'aire de l'ellipse, représentée par les formules

X = acostf y =1 b sintj a pour expression

Û=- I ab{cos*t-h sin*t)dl = 'j:ab.

^ Jo