IV. ^ EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION d' INTÉGRALE. 2l

luer l'aire limitée par le contour O AMBO {^g- 17), formé des deux droites OA, OB et de Tare AMB, qui n'est rencontré qu'en un point au plus par une droite issue de O. Prenons le point O pour

Fig. 17.

pôle, pour axe polaire une droite O^, et soit p =:y(w) l'équation de l'arc AMB.

Inscrivons une ligne polygonale dans cet arc AMB, et soient M, M' deux sommets voisins ; l'aire cherchée est la limite de la somme des triangles OMM'. Or l'aire du triangle OMM' a pour expression

- p(p -h Ap)sinA(o = Aa)| Ë- -h ej,

e étant infiniment petit avec Aco. On vérifie aisément que toutes les quantités analogues à e peuvent être supposées moindres que tout nombre donné y^ pourvu que tous les angles A(o soient assez petits. On peut donc négliger e Au dans la recherche de la limite ;

l'aire cherchée est la limite de la somme ^ ^^» c'est-à-dire l'intégrale définie

0)4 et (i>2 étant les angles que font avec Ox les droites OA et OB. Une aire limitée par un contour de forme quelconque est la somme ou la différence d'un certain nombre d'aires limitées comme la précédente. Si l'on veut, par exemple, évaluer l'aire d'un contour fermé entourant le point O et rencontré en deux points seulement par une droite passant par le point O, il suffira de faire varier co de o à 211. L'aire d'un contour fermé convexe laissant le point O à l'extérieur {Jlg' 17) est égale à la différence des aires des deux secteurs OAMBO, OANBO, qu'on calculera

2l4 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

comme on vient de l'expliquer. Dans tous les cas, l'aire est encore

représentée par l'intégrale curviligne - / p^rfw, prise le long de C

dans le sens direct. Cette formule ne diffère pas au fond de la précédente; en effet, quand on passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, on a

dx = cosu) c?p — p sinioei^h), dy = sinto rfp -h p cosu) rfo),

X dy — y dx rr- p^dta.

Considérons encore un arc de courbe AMB représentée en coordonnées obliques par l'équation yz^fi^x). Pour évaluer Taire

Fig. i8.

limitée par l'arc AMB, l'axe des x et les parallèles AAo, BBo à l'axe Oy^ imaginons une ligne polygonale inscrite dans AMB, et décomposons l'aire du polygone en petits trapèzes par des parallèles à Oy, L'aire d'un de ces trapèzes a pour expression

f(Xi^i)-hf(Xi), . . û

•^^ ^ îLi—Li (a:/— a?/i)sin6,

ce qui peut encore s'écrire (xî — ^/i)/(Çi) sinÔ, Ç/ appartenant à l'intervalle (^i i, Xi), L'aire est donc égale à l'intégrale définie

sinO / /{x)dx.

On en déduit, comme plus haut, que l'aire limitée par un contour fermé quelconque C a pour expression

Jf x dy — y dx.

(Cl