IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION d'INTÉGRALE. 2I

Remarque. — Étant donnée une courbe fermée C {fig- x5) menons en un point M de cette courbe la direction de la normale qui va vers l'extérieur^ et soient a, P les angles que fait cette direction avec les axes O^, Oy^ ces angles étant comptés de o à tc. Le long de Tare A m^ B, l'angle p est obtus et l'on adx= — ds cos P, de sorte que l'on peut écrire

/ ydx = — I y cos p ds.

Le long de Bm^A, l'angle ^ est aigu, dans l'intégrale curviligne le long de B/n2A, dx est négatif, et si l'on convient de regarder rfj comme toujours positif, on a encore dx = — ds cos p. L'aire de la courbe fermée est donc représentée par l'intégrale

y cos p dsy

l'angle P étant défini comme on l'a dit, et ds étant essentiellement positif. La formule s'étend comme plus haut à un contour de forme quelconque, et l'on verrait de même que l'aire est égale aussi à l'intégrale

/ X cosoL ds.

Cet énoncé est absolument indépendant de la disposition des axes.