Valeur de Pintégrale ~ jxdy'-ydx. — IJ est naturel de se

demander ce que représente rinlégrale / xdy — ydx^ prise le long d'une

courbe de forme quelconque, fermée ou non.

Considérons, par exemple, les deux courbes fermées OAOBO, ApB^GrA^B/GuA (Jlg. 19) qui ont respectivement un point double

et trois points doubles. 11 est clair que l'on peut les remplacer l'une et Tauire par la réunion de deux courbes fermées sans point double. Ainsi

^l6 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

le contour fermé OAOBO est équivalent à la suite des deux contours OAO OBO. L'intégrale prise le long du contour total est égale à Taire de la boucle OAO diminuée de l'aire de la boucle OBO. De môme, le second contour peut être remplacé par les deux courbes fermées ApBqCrA. et A.sBtCuA. L'intégrale est donc égale à la somme des aires des boucles A/ïB^A, BtCqB, ArCwA, plus deux fois l'aire de la boucle AsBqCuA. Le raisonnement est général. Un contour fermé, avec un nombre quelconque de points doubles, détermine un certain nombre d'aires partielles ^i, o-j, ..., Vp qu'il limite complètement. L'intégrale, prise le long du contour total, est égale à une somme de la forme

mi^iH- mjffj-h. . .-4- niptjp,

niiy nif, ..., nip étant des nombres entiers positifs ou négatifs, que l'on détermine par la règle suivante : Étant données deux aires limitrophes (j, o' séparées par un arc ab du contour C, on imagine un observateur debout sur le plan et décrivant le contour dans le sens indiqué par les flèches; Vaire laissée à gauche a un coefficient supérieur d'une unité à celui de l'aire laissée à droite. On donne le coefficient o à l'aire illimitée extérieure au contour, et Ton détermine les autres coefficients de proche en proche.

Si Ton a un arc de courbe AB non fermé, on le transforme en une courbe fermée en joignant les extrémités A et B à l'origine, et l'on

applique la règle précédente à ce contour; car l'intégrale / x dy — ydx, prise le long des rayons OA et OB, est évidemment nulle.