VI. — CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES DEFIMES

^i-\- x^ reste compris entre i et v/2. L'intégrale cherchée est donc comprise entre les deux intégrales

r' dx j /** dx

c est-a-dire entre

-^ et -• On peut trouver deux limites plus

rapprochées en observant que (i -f- x^) * est plus grand que i ;-

comme le montre le développement de (i -4- u) * par la formule de Tajlor, limitée aux deux premiers termes. L'intégrale I est donc supérieure à

r^ dx I r' x^dx

la dernière intégrale a pour valeur - (voir n° 105) et, par suite,

1 est compris entre — et -•

Il est clair qu'on n'obtient de celle façon que des indications sur la valeur exacte de l'intégrale. Pour avoir des valeurs plus approchées, on partagera l'intervalle (a, b) en intervalles plus petits à chacun desquels on appliquera la formule de la moyenne. Pour fixer les idées, supposons que /(x) aille constamment en croissant depuis a jusqu'à b. Divisons l'intervalle (a, b) en n parties égales (6 — a=znh); d'après la définition même de l'inté-

grale, 1 /(a?) dx est comprise entre les deux sommes

5 = AJ/(a) -h/(a-+-A) -i-...-h/[a-h(n — i)A]j,

S = h[f{a -f- h) -hf{a -4- 2 A) -h. . .-4- /(a -+- nh)].

En prenant pour valeur de l'intégrale — ; — > l'erreur commise est

certainement inférieure à S — s= [/(^) — /i^)]' ^* ^^"

leur peut s'écrire •

-H A) /(a -+- A)-i-/(a -+-aA)

. /[g -t-(/i - i)/t] H- /(g -+• nh)) ,

122 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DEFINIES.

si l'on observe que - î/(a + ih) -\-/[a -h (t -+- i)/i]\ représente

Taire du trapèze qui aurait pour hauteur h et pour bases /{a H- ih) et /{a -\- ih -\- h), on voit que la méthode revient à remplacer l'aire de la courbe j^ =/(a:), comprise entre deux ordonnées voisines, par Taire du trapèze rectiligne ayant pour bases ces deux ordonnées. La méthode est pratique, quand on n'a pas besoin d'une grande approximation.

Prenons, par exemple, Tintégrale / 1; si l'on prend /i = 4,

on a pour valeur approchée de l'intégrale

et Terreur commise est moindre que -^ =o,o625. On en déduit

une valeur approchée de itqui a une décimale exacte 3, i3o8.

Si la fonction /(x) ne varie pas dans le même sens lorsque x croît de a à é, on partage cet intervalle en plusieurs autres pour lesquels cette condition soit satisfaite.