VI. — CALCUL APPROCHÉ DBS INTÉGRALES DÉFINIES
est un polynôme de degré n qui s'annule pour les valeurs données a:©, ^i , • • • , Xn) sauf pour x = j?/, et qui est égal à un pour X = Xi. On a donc
y ^(ix;)dx=^yi I \idx\
or, nous pouvons écrire
j7(, = a -1-60(6 — a), a:i = a-»-0i(6 — a), ..., a7rt = «-+-0n(6 — a),
Oq, 0|, ..., 0;2 étant des nombres croissants de o à i, et, en faisant le changement de variable ;r = a -f- (6 — a)/, la valeur approchée de l'intégrale prend la forme
(36) (6 — a)(Ko^o-+- K,^', -+-. . .-h K„/n),
où Ton a posé
• ( / - Bo ) . . . ( / - 0/, ) ( < - 6/+, ) . . . ( ^ — e„)
Oo) . . . (ô/— e/-,)(e/~ 6/+.,) . . . (0/- e„)
dt.
Si, quelle que soit la fonction /(j:), on décompose l'intervalle (a, 6) en intervalles plus petits dans un rapport constant, les nombres Oo^ ^f» •••> ^/i ^^ P^>* suite, les coefficients K| sont indépendants de f{x). Ces coefficients étant calculés une fois pour toutes, on n'a plus qu'à remplacer ^o> y m ^ • *•> yn par leurs valeurs correspondantes dans la formule (36).
Lorsque la courbe ^=:/(j?), dont on veut avoir l'aire, est donnée graphiquement, il est commode de diviser l'intervalle (a, b) en parties égales, et l'on n'a plus qu'à mesurer sur cette courbe des ordonnées équidistantes. Si l'on divise en deux parties
égales, on doit prendre 6© = o, 6| = - j 8a = i , ce qui donne pour valeur approchée de l'intégrale
On trouve de même, pour n == 4)
TL
l ^ — jj— (ro-H 3^1-+- 3^1 -+-73).
et, pour 71 = 5,
La méthode précédente est due à Côtes. Celle de Simpson est un peu différente. Imaginons l'intervalle (a, b) divisé en 2n parties égales, et soient j/"o, y 1,^2» •••ïj^a» '^s ordonnées correspondant aux points de division. Si Ton applique la première formule de Côtes à l'aire comprise entre deux ordonnées d'indice pair consécutives, telles quej'o etj^aj J^2 etj^^, . . ., on trouve pour valeur de l'aire totale à évaluer
et, en réduisant, on est conduit à la formule de Simpson
101. Méthode de Gauss. — Dans la méthode de Gauss, on prend d'autres valeurs pour les quantités 6/. Voici comment on y est conduit : Admettons que Ton puisse trouver des polynômes de degrés croissants, qui diffèrent de moins en moins de la fonction à intégrer/(^), dans l'intervalle (a, b). Admettons^ par exemple, que l'on ait
le reste R2/i(^) étant moindre qu'un nombre fixe t„ pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b ('); nous ne connaissons pas en général les coefficients a/, mais ils n'interviennent pas, comme on va le voir, dans le calcul. Soient maintenant a:o, Xiy . - ., ^«i des valeurs de x comprises entre a et 6, et ^{x) le polynôme de degré n — i, qui prend les mêmes valeurs quey(^) pour les valeurs Xo, x^^ x^^ . . . , Xn^\» La formule d'interpolation de Lagrange montre que ce polynôme peut s'écrire
în — t
(') C'est une propriété générale des fonctions continues dans l'intervalle (a, b)y d'après un théorème de Weierstrass. ( Voir plus loin, Chapitre IX.)
