VI. — CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES DEFINIES

^m et Wk étant des polynômes de degré n — i au plus. Il est visible que le polynôme (fm{^) i^e dépend que des valeurs choisies x^^ Xi^ . . ., Xn-i' D'autre part, ce polynôme ©m(^) doit prendre les mêmes valeurs que x^ pour x = Xq^ x = Xt, . . . , a: = ;r„i ; car, si Ton supposait tous les a/ nuls, sauf oLm, ainsi que R2/^(x), /{x) se réduirait à oLmX"^ et f{x) à 0Lm^m{^)' La différence x'^ — ^mi^) doit donc être divisible par le produit

et l'on doit avoir x'^ — fm(^) = PnQm^ni^)^ Qm-«(^) étant un polynôme de degré m — n, si m^n^ et x'^ — ^m(^x) = o, si m

est ^ n — I . Cela posé, l'erreur commise en remplaçant / /{x) dx par / cp(j:^)rfj; est égale à

(37) 2""*y [^"'-?m(x)]dx-^f Rtn{^)dx—^R^„{xi)f ^'i{x)dx.

Les termes qui dépendent des coefGcIents ao, ai, . . ., cLn i sont identiquement nuls et Ton voit que l'erreur commise dépend uniquement des coefficients a^, a^+n . • •, «a/i-» et du reste R2«(^)- Or en général ce reste Rj/i est très petit par rapport aux coefficients ay,, a,/^i, . . . , d^n-i', on aura donc de grandes chances pour augmenter l'approximation, si l'on peut disposer de Xq, ^r^ , . . ., ^n-i'i <le façon que les termes qui dépendent de a,,, a^,^,, ..., a^ii.i soient nuls aussi. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les n intégrales

f P«Qorf^, f PnQlCix f PnQn-ldx

soient nulles, Q/ étant un polynôme de degré i. Nous avons vu plus haut (n^ 88) qu'on satisfait à ces conditions en prenant

il suffira donc de prendre pour x^^ x^^ . . . , Xn-\ les n racines de

l'équation P,i = o, racines qui sont bien comprises entre « et 6.

Lorsque Pod a a= — i, 6 = -|-i, cas auquel on peut ramener tous les autres par la substitution :r = j ^^~ t. les

valeurs ^To, X\^ ..., Xn-\ sont les racines du polynôme de Legendre X„ = o. On trouvera dans le Traité de Calcul intégral de M. Bertrand (p. 842) les valeurs de ces racines, ainsi que des coefficients K/ de la formule (36), jusqu'à /i = 5, avec 7 et 8 décimales.

L'erreur commise dans la méthode de Gauss est égale à

les fonctions Wi{x) ne dépendent pas de la fonction dont on cherche l'intégrale. Pour avoir une limite de l'erreur commise, il suffit donc de connaître une limite de R2n(:r), c'est-à-dire de savoir avec quelle approximation la fonction y(^) peut être représentée par un polynôme de degré o.n — 1 dans l'intervalle (a, 6), sans qu'il soit nécessaire de connaître ce polynôme.

On peut aussi, pour calculer la valeur numérique d'une intégrale définie, développer en série la fonction f{x) et intégrer ensuite terme à terme la série obtenue. Nous verrons plus loin (Chap. VIll) à quelles conditions cette opération est légitime et quelle est l'approximation qu'elle donne.

102. Planimètre d'Amsler. — On a imaginé un grand nombre d'appareils pour mesurer, par des moyens mécaniques, Taire d'une courbe plane (i). Un des plus ingénieux est le planimètre d'Amsler, dont la théorie offre une application intéressante des intégrales curvilignes.

Considérons une droite rigide mobile dans un plan, et les aires A], Jlis des courbes décrites par deux points Ai, A^ de cette droite, lorsque, dans son mouvement, elle revient à sa position initiale au bout d'un certain temps. Soient (ari,>'i), (^i, J^s) les coordonnées des deux points Aj, Aj, dans un système d'a\es rectangulaires, / la distance des deux points, et 0 l'angle que fait avec Ox la direction Ai A}. Pour définir le mouvement de la droite, il faut supposer que â7i, yi et 0 sont des fonctions périodiques d'une certaine variable indépendante ^, qui reprennent les mêmes valeurs lorsque t augmente de T. On a iFj = arj-i- ^cosô, ^1 = j^iH- ^sin8, et,

(* ) On en trouvera la description dans un Ouvrage de M. A.bdank-Abaranowics : Les intégraphes, la courbe intégrale et ses applications. ( Gauthier-Villars, 1886.)

Yl. — CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES DÉFINIES. 227

par suite,

/(cos6 dyi — sinO c/j-i-f-^iCOsO d^ -4-^isin6rf6).

En désignant par &ibi, JUt les aires des courbes décrites par les points Ai, A], ces aires étant évaluées avec la convention générale faite plus haut (n'^Oô), on a

et, par conséquent, en intégrant les deu^ membres de l'égalité,

cV^sA^iH I dO -^ - / cosOd^i — sinO^/j^i-h / (2ricos0-h^isin6)rf6,

toutes les intégrales étant prises entre les limites /q et /o+T pour la

variable t. l\ est clair que / ^0 = 2Kr, K étant un nombre entier qui

dépend du mouvement de la droite. D'autre part, on a, en intégrant par parties,

/ OTiCOsO cH = Xi sinO — / sin6 dxi,

j y\ sin 6 d^ = — yi cos 9 -t- / cos 0 dyi ;

orâTi sin6 et^iCOsO reprennent la même valeur lorsque < croit de t^'a ^o+T. Nous pouvons donc écrire

^\,î = oA I -f- K t: /* H- M cos 6 dyt — sin 6 dxi ;

soient 5 l'arc de la courbe décrite par A], compté positivement dans un sens déterminé, à partir d'une origine arbitraire, et a l'angle que fait avec Ox la direction positive de la tangente, on a encore

cos6 dyt — sinOc^j^i = (sina cos6 — sinO cosa)^^ = sin Vcfj,

V étant l'angle que fait avec la direction choisie sur la droite la direction positive de la tangente, compté positivement comme en Trigonométrie. La formule précédente peut encore s'écrire

(38) rl.,= aV,, -h K <::/»-+-/ f s\n\ ds.

Soit As un troisième point de la droite, à une distance /' de Ai; on a de même, pour l'aire de la courbe décrite par A3,

(39) * ^U=A.i-^KTJ'*-hr fs'inVds.

Si entre ces deux formules on élimine l'intégrale inconnue / sinV els, il vient

relation qui peut encore s'écrire

(4o) Jlo,(23) -H Aoj(3i) -H *^3(i2) -+- Kit(i2)(23)(3i)= o,

en désignant par {ilc) la distance des deux points A/, ^k{h A: = i, 2, 3) affectée d'un signe. Pour donner une application de cette formule, considérons une droite Ai At de longueur (a + b) dont les extrémités Ai et A{ décrivent une même courbe fermée convexe G; le point A3 qui divise Al As en deux segments de longueur a et b décrit aussi une courbe fermée C intérieure à G. On a ici

Xî=<.\9i, (12) = a -h ô, (23) = --^, (3i)=— a, K = i,

et il vient, en divisant par a-^ b,

cA»! — e^oi = Tz ab ;

or tA>i — cild3 représente l'aire comprise entre les deux courbes G, G'. On voit que cette aire est indépendante de la forme de la courbe G. Ge théorème est dû à M. Holditch.

Au lieu d'éliminer / s'in \ ds entre les formules (38) et (39), éliminons «Hsi, il vient

(40 X3=r.l.j-l-Ku(/'«— /2)| (/'/) Ain Vcf^;

le planimètre d'Amsler oiïre une application de cette dernière formule.

Fig. 20.

Soit A1A2A3 une tige rigide articulée en Aj avec une autre tige OAj. Le point O étant fixé, on fait décrire à l'extrémité As, qui est munie d'une pointe, le contour de l'aire que l'on veut évaluer, le yfo'ml Aj décrit un arc de cercle, ou une circonférence entière suivant la nature du mouve-

ment. Dans tous les cas, on connaît tA>}, K, /, l', et il suffira de connaître

l'intégrale 1 s\n\ ds pour avoir l'aire cherchée Jlos. Cette intégrale est

prise le long de la courbe Ci décrite par l'extrémité Ai. Cette extrémité porte un cylindre de révolution gradué dont l'axe coïncide avec l'axe même de la tige Ai A3, et qui peut tourner autour de cet axe.

Considérons un déplacement infiniment petit de la tige, qui amène AiAsA} dans la position Aj A^A^. Soit Q le point de rencontre des deux droites Al At et AfA^; du point Q comme centre décrivons un arc de cercle A', a, et du point A\ abaissons la perpendiculaire A', P sur Ai As. Pour amener la tige de la première position à la seconde, on peut imaginer qu'elle glisse d'abord sur elle-même de façon que Ai vienne en a. Dans ce mouvement, le cylindre glisse le long de la génératrice de contact, et la rotation est nulle. Si l'on fait ensuite tourner la tige autour de Q, de façon que a vienne en A'i, la rotation du cylindre est mesurée par l'arc aA', . Or

les deux rapports . ' > r— rr tendent respectivement vers i et sinV

^'^ AjP arc Al A 1 ^

lorsque l'arc A 1 Al tend vers zéro. On peut donc écrire a A'i = A5(sinV4- e),

t étant infiniment petit avec ùls, La rotation totale du cylindre est, par

suite, proportionnelle à la limite de la somme £Às( sin V + e), c'est-à-dire

à l'intégrale / sinV^5. Il suffit donc de mesurer cette rotation pour en

déduire Taire cherchée.

i. Démontrer que la somme — 1 h. . .h a pour limite loff2,

lorsque n augmente indéfiniment.

I On prouve que cette somme a pour limite l'intégrale définie / • 1