Démontrer que Ton a / —^ — dx = ' log
Jo ^-^^ ^
[On peut poser â7=tang<p et partager l'intégrale obtenue en trois parties.]
*6. Trouver la valeur de l'intégrale définie 1 log(i — iolcosx '\~a')dx.
[Poisson.]
En partageant l'intervalle de o à ic en n parties égales et appliquant une formule connue de Trigonométrie, on est conduit à chercher la limite, pour n infini, de l'expression
si a est compris entre — i et + i, cette limite est nulle. Elle est égale à irloga*, si a'> i.
Jr^ s'inxdx
f / ~ -> 011 a est positif, est égale
à 2 si a est < I , et à - si a est > I .
*8. Pour qu'une fonction /(â?) soit intégrable dans un intervalle (a, 6), il faut et il suffit qu'à tout nombre positifs corresponde une subdivision de l'intervalle telle que la différence S — s des sommes correspondantes soit plus petite que e.
Soient /(x) et ^{x) deux fonctions continues dans l'intervalle (a, 6)
et (a, Xif Xif ..., b) une division de cet intervalle. Si l'on prend deux valeurs quelconques ^t, tu dans chaque intervalle partiel (xt-i, 27/), la somme 2/'({/)^(Tj/)(a?/ — ir/-i) a pour limite l'intégrale définie
/(x)o(x)dx.
10. Soit/(â?) une fonction continue et positive dans Tintervalle {a, b).
Le produit des deux intégrales définies / /{x)axn j -jî — r^st minimum lorsque la fonction est constante.
rindice d'une fonction (n° 77) entre x^ et 27i. On a la relation
OÙ a = -i-i, lorsque /(a?o) > 0, /(j:|)<o, e :^ — i lorsque /(x©) < o, f(Xi) > o, et Ê = o lorsque y(jro) et/(ari) ont le même signe.
On applique la dernière formule de la page 176 aux deux fonctions/(ar), -^ — -.
'i2. Soient U et V deux polynômes de degrés n tt n — i premiers entre
eux. L'indice de la fraction rationnelle jzy entre les limites — x et -4- a:
de la variable, est égal à la différence entre le nombre des racines imaginaires de réquation U + i V = o, où le coefficient de i est positif, et le
nombre de ces racines où il est négatif.
[Hermite, Bulletin de la Société mathématique, t. VII, p. 128.]
'13. Établir le second théorème de la moyenne au moyen d'une intégration par parties.
Soient /(a?) et ^{x) deux fonctions continues dans l'intervalle (a, b) dont la première y( 2?) est constamment croissante ou constamment décroissante et admet une dérivée continue. On a, en posant
4»(ir) = / «p(^) dx^ et intégrant par parties,
f f{x)f^{x)dx=f{b)^{b)- f f'{x)^(x)dx\
la dérivée f(x) ayant un signe constant, il suffit maintenant d^appliquer la première formule de la moyenne à la nouvelle intégrale.
con-
14. Vérifier que Tintégrale définie / x dy — y dx^ prise le long d'un
tour fermé, se change en une intégrale de même forme quand on passe d'un système d'ares rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires de même disposition.
