Les arcs correspondants des deux courbes
^ i x^rf/c 0-/(0 + ?'(<), ^, ( a;'=t/(0-/(0-?'(0, 1 r=/(0-'?'(0^-?(0. I r'=/(0 + <î'(0-?(')
ont la même longueur, quelles que soient les fonctions /(^), ^{t).
18. Étant données dans un plan n courbes G^ Gi, ..., G», on abaisse
d'un point M du même plan des normales MPi, . . ., MP» à ces courbes.
Soit // la longueur MP/. Le lieu des points M tels que l'on ait une relation
de forme donnée F(^i, /j, ..., l„)=zo entre les n longueurs //est une
courbe F. Si l'on porte sur chaque droite MP/, et dans un sens convenable,
âF une longueur proportionnelle à -rj-» la résultante de ces n segments donne
la direction de la normale à la courbe F. Extension aux surfaces.
19. Soit G une courbe fermée. Sur la tangente en un point m de G, on prend deux points p^ p' de part et d'autre de /n, tels que mp = mp'y la longueur mp variant d'après une loi arbitraire. Les aires des deux courbes décrites par les points Pi p' sont égales. Gas où la longueur mp est constante.
20. L'aire comprise entre une courbe fermée convexe et une courbe parallèle, obtenue en portant sur les normales une longueur constante /, est égale à =b 7t/*+ 5/, s étant la longueur de la courbe fermée.
EXERCICES. a33
21. Soit G une courbe fermée. Le lieu des points A tels que l'aire de la podaire correspondante ait une valeur donnée est un cercle dont le centre est fixe.
On définit la courbe G par son équation tangentielle
xcost -hysiïït z=f(t),
22. Soient G une courbe fermée, Gi la podaire de cette courbe relativement à un point A, Gj le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point A sur les normales à G. On a, entre les aires de ces trois courbes, la relation JI0 = Jloi — JI02.
D'après les propriétés de la podaire (n^ 36), si p et o) sont les coordonnées polaires d'un point de Gi, les coordonnées du point correspon-
dant de Gi sont p' et 10+ -» et celles du point correspondant de G sont r = v^p*-f- p'* et çp = o) -f- arc tang— •
23. Lorsqu'une courbe G roule sans glisser sur une droite, tout point A
invariablement lié à la courbe G décrit une courbe appelée roulette :
1*^ l'aire comprise entre un arc de la roulette et la base est égale au double
de l'aire correspondante de la podaire du point A par rapport à G; 2** l'arc
de la roulette est égal à l'arc correspondant de la podaire.
[Steiner.]
Pour démontrer ces théorèmes par l'analyse, soient X, Y les coordonnées du point A par rapport à un système d'axes mobiles formé par la tangente et la normale en un point M de G, 5 l'arc OM compté à partir d'un point fixe O de G, et o) l'angle des tangentes en O et en M. On établit les relations
cfe-t-rfX = Yrfui, dY -h Xdi»} = o,
d'où les propositions se déduisent.
*24. L'erreur commise dans la méthode de quadrature de Gauss a pour expression
Ç étant compris entre — 1 et -hi.
2 r 1 .2.3. . . n V /1-4-1 Ll.2...(2/l — i)J
[Mansion, Comptes rendus, 1886.]
