I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

on a

r \dx A

J (a? — rtV" "" (/?i — i)(ar — a;"*-i'

et, si m = I ,

/A dx = Alog(a? — a); x — a

nous omettons, pour abréger, la constante C qui doit être ajoutée au second membre. Il n'y a donc plus à examiner que les fractions simples provenant des racines imaginaires du dénominateur. Afin de simplifier l'écriture, posons

ic = a H- 3 ^, dx= ^dt, ce qui donne

r M:r-f-IV I /-Ma + N + Mpf

et Ton a deux sortes d'intégrales

r idi r dt

La première se calcule aisément en remarquant que tdt est la moitié de la différentielle de i -f- /^ ; on a donc, si n > i ,

r tdt I p»^*-«

J (i-t-/*/* ~ 'i(/i — !)(!+ /«)«-» ~ 'i{n -i)[(j?— a)«-i-pî]'»-»' et, si /i =: r ,

Il ne reste plus que les intégrales

r dt

si /i = I y on a immédiatement la valeur de cette intégrale

J* dt X — a

■^-^ = arc tangf = arc tang— g— ;

si n est plus grand que un, on emploie une formule de réduction permettant de ramener le calcul de l'intégrale proposée au calcul d'une intégrale de même forme où Texposant de i + V^ est diminué d'une unité. Nous pouvons écrire, en désignant par I«

236 CHAPITRE V. — INTEGRALES INDÉFINIES.

l'intégrale en question,

intégrons par parties / —— > en posant

il vient

r r^dt t I ■ r dt

Remplaçons cette intégrale par sa valeur dans la relation précédente, il reste

Changeons dans cette formule n en n — i , puis en n — a, et ainsi de suite; nous serons ramenés à l'intégrale I| = arctang^

En remontant ensuite de proche en proche, on a Analement

\n = j- 9 ,{ r- arc tang^ -t- R(/),

{in — 2)(2/i — 4)»«.4.îi

R(^) étant une fonction rationnelle de t dont il serait facile d'avoir l'expression; nous observerons seulement que le dénominateur est (i + r*)""* et que le numérateur est de degré inférieur à an — 2 (vofVn** 97, p. 219).

En définitive, l'intégrale d'une fonction rationnelle se compose d'une partie qui est elle-même rationnelle et de termes transcendants de l'une des formes suivantes

log(j: — a), log[(x — «)«■+. p«], arclang^^.

Soit à calculer, par exemple, l'intégrale / — • Le dénominateur admet deux racines réelles -f- 1 et — 1 , et deux racines imaginaires -H t et — i. On a donc, en décomposant en fractions

simples,

X^ — I X — I X-Jt-\ \->rX^ ^