I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

pour déterminer le coefficient Â, multiplions les deux membres par X — I et faisons ensuite ^ = i, il vient A = -> et Ton trouve

de même B= — -> L'identité précédente peut alors s'écrire

1 I /j i__\ Car -h D

ou, en réduisant le premier membre,

-I Car-hD

on doit donc prendre C = o, D =: , et nous pouvons écrire

a?*— I ^{x — i) 4(a^-hi) 2{x^-hi)

ce qui donne

/dj^ î , / 37 — I \ ^ I = - loff ( ) — ^ - arc tanga;.

Remarque, — La méthode précédente, quoique absolument générale, n'est pas toujours la plus simple. On peut quelquefois abréger le calcul par des artiQces convenables. Prenons, par exemple, Tinlégrale

dx

(ar*— 1/»'

si /i > I, on pourrait, soit décomposer en fractions simples en séparant les racines H- i et — i, soit employer une formule de réduction comme pour l'intégrale I/j. Mais on l'obtient d'une façon plus

élégante en faisant le changement de variable x= ^» ce qui donne

ar» — I = — i^^ , dx = — —~-^ y

En développant (i — zy"~^ par la formule du binôme, on n'a plus à intégrer que des monômes de la forme Az\^, jjl pouvant être d'un signe quelconque.

238 CHi^PITRE Y. — INTéGR4LES INDÉFINIES.

lOi. Méthode de M. Hermite. — Nous avons supposé jusqu*icî la fraction à intégrer décomposée en fraclions simples, ce qui exige que l'on connaisse les racines du dénominateur. La méthode suivante, due à M. Hermite, permet de trouver la partie algébrique de l'intégrale sans connaître ces racines et n'exige que des opérations élémentaires, c'est-à-dire des additions, multiplications et divisions de polynômes.

Soit ^ — - la fraction rationnelle à intégrer, dont nous pouvons

supposer les deux termes premiers entre eux. La théorie des racines égales permet de meltre le polynôme F(jr) sous la forme

X|, Xo, . . ., X^ étant des polynômes qui n'ont que des facteurs linéaires simples et qui n'ont deux à deux aucun facteur commun. On peut ensuite décomposer la fonction proposée en fractions simples ayant pour dénominateurs X|, X^, - . *, X^,

F(:r)-X, "^Xr^ *■ X?'

A/ étant un poly^nome premier avec X/. On sait en eflet, d'après la théorie du plus grand commun diviseur, qu'étant donnés deux polynômes premiers entre eux X et Y, et un polynôme quelconque Z, on peut toujours trouver deux autres polynômes A et B donnant lieu à l'identité

BX-hAV = Z.

Prenons X = X|, Y = X^, . . . X^, Z =:/(^x); l'identité précédente devient

BX,-+-AX3 ...XJ=/(:r),

ou, en divisant par F(:r),

et il est clair, d'après l'identité précédente, que, si /(-v) est premier avec F(^), A est premier avec X, et B est premier avec X2...X^. En recommençant les mêmes opérations sur la