I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. l'\ç

fraction

^ ^ ■ • • • ^» af

f(x) et ainsi de suite, on mettra ^n — { sous la forme annoncée.

Il nous suffît donc de montrer comment on peut trouver la partie rationnelle d'une intégrale telle que

où <f{x) est un poljnome premier avec sa dérivée. D'après le théorème déjà rappelé, on peut alors trouver deux autres polynômes B et C donnant lieu à l'identité

et nous pouvons écrire l'intégrale précédente

Si n est supérieur à un, intégrons par parties la dernière intégrale en posant

Il — G, r = "

il vient

et, en portant dans la relation précédente, on a

Ai dx

rXdx G rXidx

A| désignant un nouveau polynôme. Si /? >• 2, on peut appliquer le même procédé de réduction à la nouvelle intégrale, et ainsi de suite; on ne sera arrêté que lorsque l'exposant de (p au dénominateur sera égal à un et l'on obtiendra alors une relation de la forme

^ dx — >

R(j:) étant une fonction rationnelle de .r et ^ un polynôme que l'on peut toujours supposer de degré inférieur à celui de ç, mais qui n'est pas nécessairement premier avec y. Pour calculer cette

24o CHAPITRE V. — INTEGRALES INDÉFINIES.

dernière intégrale, il faudrait connaître les racines de (p, mais rintégration n^introdu irait aucun terme rationnel. En effet, la

fraction -j décomposée en fractions simples, ne donnera que des

termes tels que

et l'intégrale de chacun d'eux est une fonction transcendante.

La mélhode permet en particulier de reconnaître si l'intégrale d'une fonction rationnelle est elle-même une fonction rationnelle. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'après avoir poussé la réduction aussi loin que possible tous les polynômes tels que df soient nuls.

Oq remarquera que la méthode qui a été suivie plus haut pour réduire riatégrale I^ n'est au fond qu'un cas particulier de la méthode précédente. Prenons encore l'intégrale plus générale

{ TT—. ^ 7^^' A^o, B«— AG^o;

on a l'identité

A(Aa:2-T-2Bar-h C) — ( Ax -r B)* = AG — B«,

ce qui permet d'écrire

dx^ A r dx

(Aa7*-h •2Ba7H-G)« ~" AG — B*J ( A a?^ -f- xB a; + G)«-i

I r. . p . (Aa;-t-B)^jr

ÂG^F^J (A^-^«)^A.a;'--+-2Ba:-l-G)«'

En intégrant par parties la dernière intégrale, on a

/A . D\ Aa7 4-B Aa^H-B

(Aa:^ 4- 2 Bar H- G)'* tAi/i — 1)( Aar^-^ 2Bar -h G)«->

A r dx

"^ in^^ij '(Aa;2 4-aBar-i-G)«-i '

et la relation précédente nous donne

r dx __^ Aar -+- B

J (Aa-^-f-'iBa-^- C)« ~ 2(/i- i)( AC — ~B»)(Aar2^ aBar -h G)«-»

in — 3 A r dx

"^ 'ïa—^i ÂG~ BV r-V^-H^TBa7-+- G )'*->'