INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

En continuant de la sorte, on sera ramené à l'intégrale

dx

qui s'exprime par un logarithme si B* — AG > o, et par un arc tang si B«— AC<o.

Prenons encore l'intégrale

dx\

i^x^-\- Zx -\- if on a l'identité

Sa?» -4- Sjt — I = 6a?(a?*4- i) — (a?' H- 3a? h- i), ce qui permet d'écrire

(j?M^3a?-hi;3 ~J (r8-h3.rH-i)» ^ J (a?3-h 3^7 -4- 1)« En intégrant par parties la première intégrale, on a

/6{a?*-+-i)r/jr — ar /* dx

^(2:5-h3a?-4-ij» "" (a?3-h3ar-M)« V (:f»-I- 3^ -h i)«'

il reste, par conséquent,

Remarque, — Dans l'application de la méthode de M. Hermite, on a à résoudre le problème suivant : Étant donnés trois polynômes A,^, G, de degrés m, n, p respectivement^ K et B étant premiers entre eux, trouver deux autres polynômes u et v tels que Von ait identiquement A u H- B p = G.

Pour trouver les polynômes a et c du plus petit degré possible répondant à la question, supposons d'abord que/? est au plus égal à m h- /i — i. On peut alors prendre pour a et t^ des polynômes de degré n — i et m — i respectivement. Les m + n coefficients inconnus sont déterminés par un système de m + n équations linéaires non homogènes, dont le déierminant ne peut être nul; autrement on pourrait trouver deux polynômes u et V de degrés n — i et m — i au plus donnant lieu à l'identité A u H- B p = o, ce qui exigerait que A et B eussent un facteur commun.

Si le polynôme G est de degré m + n ou de degré supérieur, divisons G par AB de façon à avoir un reste G' de degré m-r-n — i au plus; G = ABQ-+-G'. La relation Aa -h Bp = G devient, en posant u — BQ = i/i,

AaiH-Bp = G',

et l'on est ramené au cas précédent.