Des intégrales fR{xy y^A^c^-f- 28x4- C) dx. — Après

les intégrales des fonclioDs rationnelles, il est naturel d'étudier les intégrales des fonctions irrationnelles. Nous commencerons par le cas où la fonction à intégrer est une fonction rationnelle de x et de la racine carrée d'un polynôme du second degré. Dans ce cas, il suffit d'un simple changement de variable pour faire disparaître le radical, ce qui ramène au cas précédent. Ce changement de variable est évident, si le polynôme sous le radical se réduit à un binôme du premier degré ax -i- b]i\ suffira de poser ax -^ b = t'^, ce qui donne

1^(0:, \Jax-^ b)dx= f^i-^—t t\- ,

et la nouvelle fonction à intégrer est rationnelle.

Si ie polynôme sous le radical est du second degré et a deux racines réelles a et 6, on peut écrire

et il SU tlira encore de poser 4/ A —^ =/,ou:c= __^ pour

faire disparaître le radical.

Lorsque le polynôme sous le radical a ses racines imaginaires, ce procédé introduirait des symboles imaginaires. Pour serrer la question de plus près, remarquons que, si Ton représente par^ le

radical \/Xx^-\- à^x -\-Qt,x et ^ sont les coordonnées d'un point de la courbe qui a pour équation

(1) ^« = Ax'H- uBa?4- G,

et le problème revient à exprimer les coordonnées d'un point d'une conique par des fonctions rationnelles d'un paramètre. Il est évident géométriquement que cela est possible; en efiel, si, par un point quelconque (a, P) de celte conique, on mène une

sécante variable

11 est clair que les coordonnées du second point d'intersection de cette sécante avec la conique s'obtiennent par des équations du