I. — INTÉGRATION DBS FONCTIONS RiTIONNELLES
premier degré, et sont par suite des fonctions rationnelles de t. Cela posé, lorsque le trinôme Ax^ -\- 2Bx -\-C a ses racines imaginaires, le coefficient A doit être positif, car autrement ce trinôme serait négatif pour toutes les valeurs réelles de x. La conique (i) est alors une hyperbole, et en coupant cette hyperbole par une droite parallèle à Tune des asymptotes
on obtient, pour les coordonnées du point d'intersection,
^~a^/Â — 2B '^ '"2//Â — iB
Lorsque A <C o, la conique est une ellipse et le trinôme
\x^ -+- aBa? -+• G
doit avoir deux racines réelles a et 6, sans quoi ce trinôme serait négatif pour toutes les valeurs réelles de x. Le changement de variables indiqué tout à l'heure est précisément celui que Ton obtiendrait en coupant la conique par une sécante mobile
Soit, par exemple, à calculer l'intégrale
dx
La conique auxiliaire y^ = x^ -h /c est une hyperbole et, en coupant par une droite parallèle à l'asymptote x -\-y = t^ on a, pour les coordonnées du point d'intersection,
et ensuite
4 / dt x
^-'ic^y i^'U
En revenant à la variable x^ il vient
dx X — /jr* -H A: .r i
{x^-^ky Ar /j:« h- k k^x^^k ^
le second membre n'étant déterminé qu'à une consianle près.
D'une façon générale, si AC — B* n'est pas nul, on a
dx I A ar -4- B
(Ax»4->Bar-HG)^ AC-BVAx« + aBx + C
Dans certains cas, il est plus facile de trouver l'intégrale directement, sans faire disparaître l'irrationalité. Nous prendrons pour exemple l'intégrale
dx
Si le coefficient A est positif, on peut l'écrire
/a dx
r y/Hdx ^ r
J v/A«a:»H-2ABar-h AG ~ J \/Çlîx
-+-B)«-|-AG — B« et, en posant Ax H- B = /, elle devient
~ f~, "^^ =-^log(^-}-v/^«4-AG-B0.
/A J /^î-t-AG — B« v^A
En revenant à la variable x^ il vient donc
f- ^ — = -7^ \oz{kx -^ B -h /Â v/Âârî-4-2Bar-t-C).
J v/A:c*4-2Bar-hG /A
Lorsque le coefficient de x^ est négatif, on peut écrire l'intégrale
/dx r JXdx
/— Ar«-f-2B:r-i-G J /aG -f- B« — (Aa? — B)«
la quantité AC -h B* est forcément positive et en posant
Aa7 — B = f v/ÂG -t- B», on est conduit à l'intégrale
£ r__dt
Par suite, l'on a
= — =rarc sin/.
rfar I A a: — B
= — — arcsin
/— Aa:»-i-2Ba:-hG /A /AG-t-B»'
il est facile de vérifier que, lorsque x varie entre les deux racines du trinôme, la fonction sous le signe arc sin varie entre — i et -h i .
