I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

Dans le cas intermédiaire où A = o^ sans que B soit nul, Tintégrale est algébrique

dx

= -^VaBjr-+-C.

Les intégrales / se ramènent aux pré-

° J (a? — a)v/Aic»-H2Bar-+-C ^

cédentes en posant x ^ a H- -; on trouve, en effet,

dx r dy

dx r

(a? — a)v/Aa7«-h2Bar-i-G ~ J /A^r*

où

Ai = Aa«-i- 2Ba-+-G, B, = AaH-B, Ci = A.

II convient de remarquer que l'intégrale est algébrique si a est racine du trinôme sous le radical, et dans ce cas seulement.

Considérons encore l'intégrale / y/jc--[- Arfjr. Une intégration par parties donne

/• /pî dx

Jx'^ -^ Xdx = X >Jx^ -h A — / ^ ;

J v^a:»-hA

d'autre part, on peut écrire

Ç ^'!^ = Ç^l^r^Kdx^ ÇJ'J^^

J yjx^^k J J yj^^k

— I )/x^ -^ \ dx — A log(jr H- /j?' -+- a),

et l'on tire de ces deux relations

(a) / \/x^ -\- Xdx = - /a?* -h A H \o%{x -\- /a7*-h A),

x^ dx X

/x^ dx X /—- 7- A , / /— r\

-7—- r = -/a72-i-A--Iog(r-h/a?«-+-A). /ar* -H A ^ ^

On établirait de même les deux formules

(4) / ^«* — x^dx = - v^a* — 37* H arcsin — 9

/x^ dx X y— a' - = i/^a* — ar* H /a« - x^ a 2

(5) / = — ~/^* — ar* 4- -;7- arc sin - •

106. Aire de l'hyperbole. — On rencontre les intégrales qui précè-

a46 CHAPITRE V. — IXTÉGRALBS INDÉFINIES.

dent quand on cherche à évaluer l'aire d*un secteur d'ellipse ou d'hyperbole. Prenons l'hyperbole

et proposons-nous d'évaluer Taire du segment AMP limité par l'arc AM, l'axe des x et l'ordonnée MF. Cette aire est égale à l'intégrale définie

c'est-à-dire, d'après la formule (a), à

ï ^r y 7 .1 /ar-+- v/ar«— a«\1

--^^,/5nr^aMog(^ a jj-

Or on a MF =y = — ^x^ — a*, et le produit x^x* — a* repré-

sente précisément l'aire du triangle OMP; on en conclut que l'aire S du

secteur OAM compris entre l'arc AM, le rayon OA et le rayon OM a pour expression

s.;^,»,(£±:fH2).i,Mo,(->|).

Cette formule permet d'exprimer les coordonnées â; et^ d'un point M de l'hyperbole au moyen de l'aire S. On tire, en effet, de la relation précédente et de l'équation de l'hyperbole

-L — A ah

et, par suite,