III. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE

La loi étant admise pour ûf^w, on a, en développant,

où /? -f- y 4- /• = /i, le coefficient A.pqr étant le même que le coefficient de dxPdyidz'' dans la puissance n*^"* du trinôme

{dx -\- djr-^-dzYj

c'esl-à-dire

On déduit de la formule précédente

H — dxP dy9 dz'"'*-^ :

dxPàyidz''-^^ "^ J

si l'on remplace maintenant (?""•"•/' par à/'^'^*^ le second membre peat s'écrire symboliquement

^^pqr T-rl „^ . dxPdyndz^iJ- dx -^ -/- dy -\- 4- dz\, '^^ dxPdyiàz'' ^ \dx ày '^ dz )

oa encore

(fa.-^fdy^ fdXi'J-d.^ 'Idy^ %dX \ôx ^y Oz J \ôx ày *^ âz J

On a donc bien, avec les mêmes conventions,

dn^^.. = (Mdx-^-'^dy-^'J-dzY^'\ \dx ày -^ dz J

Hemarque. — Supposons que, par un mojen quelconque, on ait obtenu l'expression de la différentielle totale dis}

(7) dfa = ^dx-\-(ldy'^Kdz,

P, Q, R étant des fonctions de x^ y^ z. Comme on a par définition

. du} , âtsi J Oui ,

au) = - - dx H av -h — dz,

dx dy ^ Oz '

on en déduit la relation

or dx^ dy^ dz sont, par convention, des constantes quelconques. Il faudra donc que Ton ait séparément

l'équation (7) est équivalente aux trois relations distinctes (8) et nous fait connaître à la fois les trois dérivées partielles du premier ordre.

Plus généralement, si Ton a obtenu, par un moyen quelconque, la diflférentielle totale d'ordre n

rf«w = J:CpgrdxPdy9djsf,

les coefficients Cpqr sont égaux, à des facteurs numériques près, aux dérivées partielles d'ordre n de u). On a ainsi à la fois toutes les dérivées partielles du même ordre; nous verrons un peu plus loin une application de cette remarque.

16. Différentielles successives d'une fonction composée. — Soit (i)=:F(w, i', w) une fonction composée, m, i^, (v étant des fonctions des variables indépendantes x, y^ z, t; écrivons les expressions des dérivées partielles du premier ordre

âta ôF du ()F dv dF âiv

ôx

du ôx ôç âx

dw dx

âui

ÔF du dF dv

dF dw

ày

du dy dv dy

dw dy^

dF du dF dv

dF dw

ôz

du dz dv dz

dw dz

dtû

dF du dF dv

dF dw

'dï

" du dt dif dt

' dw dt

En multipliant ces quatre équations par dx^ dy, dz, dt respectivement et les ajoutant, on a au premier membre

dm , dtii , diù , doi , -— dx -\- - ~ dy -\- -~ dz -¥- - - dt^ dx df '^ dz dt

c'est-à-dire rfo), tandis que les coefficients de t-» t-» t- sont

' * du dv dw

égaux respectivement à du, dv, dw. Il vient donc

/ \ j àF . dF , dF ,

du dv dw