III. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE

de sorte que V expression de la différentielle totale du premier ordre d'une fonction composée est la même que si les fonctions intermédiaires étaient des variables indépendantes. Nous voyons se manifester ici un des principaux avantages de la notation difTérentielle; la relation (9) ne dépend ni du nombre, ni du choix des variables indépendantes, et elle équivaut à autant de relations distinctes qu'il y a de variables indépendantes.

Pour calculer cf^b), nous appliquerons la règle qui vient d'être établie à dtùy en observant que dans le second membre de la formule (9), il entre six fonctions intermédiaires w, i^, (v, du, dv, dw. On a donc

d^F â^F d^F dF

d^îii = ——- du* -4- r;^ — r- du dv -h -- -- — du dw -h -r- d^u

ou* ou ov ou ôw du

d*F . , à*F , ^ à*F , , dF .,

du dç H — — r- dv^ -r- -^ — r— dv dw H- -T— a* i?

au dv dv* dv dw dv

d*F d^F d*F dF

du dw -f- 3—3— dv dw -h 3 — - dw* -+- -7— d* iv,

du dw dv dw dw* dw

OU, en réduisant et employant la même notation symbolique que plus haut,

^ /dF , dF . dF , \(î> dF ,, dF ., dF .,

d*ia = {-T-du-h-—dv-h-z— dw ) -+-^— d*u-h—-d*v-\- -— d* w. \du dv dw I du dv dw

La formule est plus compliquée que dans le cas où u^ v^ w sont les variables indépendantes, à cause des termes en d^u, d^v^ d^w, qui disparaissent lorsque u, i^, iv sont les variables indépendantes. Pour avoir rf'o), on appliquera de nouveau la même règle à rf^co, en observant que d^tj dépend de neuf fondions intermédiaires u^ f, (V, du^ dv^ dWf d^u, d^v^ d^w^ et ainsi de suite. L'expression générale de ces différentielles devient de plus en plus compliquée; d'^tù est une fonction entière de rfw, rfi^, dwy d^u, , , ,jd"u, d'^v, d"Wj et les termes qui contiennent ûf'^w, d"sfj d"çv sont égaux à

dF ^ dF ^ dF ^

du dv dw

Si dans rf^w on remplace w, ç, w, du, dçy dw, . . . par leurs expressions au moyen des variables indépendantes, d^tù devient un polynôme entier en dx, dy, dz, . . • dont les coefficients sont égaux {^voir la remarque du n** 15) aux dérivées partielles d'ordre n

3o CHAPITRE I. — DÉRIVÂBS ET DIFFÉRENTIELLES.

de (o, multipliées' par certains facteurs numériques. On a ainsi du même coup toutes les dérivées partielles d'ordre n.

Supposons, par exemple, qu'on veuille calculer les dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction composée o) =/(;/), où u est une fonction de deux variables indépendantes, u = ç(^j J^)- Si Ton calcule ces dérivées séparément, on a d'abord les deux dérivées partielles du premier ordre

(lO)

et, en prenant les dérivées de ces deux équations par rapport à x et par rapport k y^ on a. trois relations distinctes seulement qui donnent les dérivées du second ordre

(lî)

dit) dia du

dtii dtù du

dx ~~ du dx*

ôjr du dy

dx^ du^ \dxy du dx^ d^i'ù d^oi du du dd) d^u

dx dy du^ dx dy du dx dy

d* w (?* o) / <?M \ * diù d^u ^

~dy^'^ ~dv^\dy) '^dû'dyi'

la seconde des relations (i i) s'obtient en diflerentiant par rapport ky\à première des équations (lo), ou la seconde par rapport à x. Avec les différentielles totales, ces cinq relations (lo) et (ii) peuvent être remplacées par deux seulement

( rfo) ^%du,

rfï to = -r—- au* '^ -— d^u:

du^ du

si l'on remplace dans ces deux formules du par ^ dx -h j- dy^

d^ii par -T-i dx^ -{- a dx dy + -r-^ dy^y les coefficients de dx

et dy dans la première donneront les dérivées partielles du premier ordre de w, et les coefficients de dx^^ ^dxdy, dy^ dans la deuxième donneront de même les dérivées partielles du second ordre de w.

17. Différentielles d'un produit. — La formule qui donne la différentielle totale d'ordre n d'une fonction composée se sim-