INTÉGRALKS ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES. :k
Puisque X est premier avec sa dérivée X' et avec P(x), X'* est premier avec le produit PX'. On peut donc trouver deux polynômes X et [JL tels que Ton ait identiquement XX" -h [xX'P = A et l'intégrale se partage en deux autres
J \nyjV{x)"J y/?{x) J X« '^■
La première partie est une somme d'intégrales Y; si /i^>i, on peut intégrer par parties la seconde intégrale en posant
ce qui donne
J \n -(,t i)X«-t /l-I J 2X«-lv/P(F)
La nouvelle intégrale est de même forme que la première, sauf que Texposant de X est diminué d'une unité. En continuant la réduction autant de fois que possible, c'est-à-dire tant que l'exposant de X est supérieur à un, on arrivera à un résultat de la forme
Adx rBdx rCdx D/P
/' Adx rBdx rÇ^
J xVpT^ j x7P '^J V^
B, C, D étant trois polynômes, et l'on peut toujours supposer le premier B de degré inférieur à celui de X.
2° Supposons que X et P aient un diviseur commun D, de façon que X = YD, P = SD, les polynômes D, S, Y étant premiers entre eux deux à deux. On peut trouver deux polynômes X, jx, tels que A = 'kD" 4- [x Y" et, par suite, on peut écrire
/Kdx __ r \dx r \kdx X«v/P J V^/P ^ J D«/P
La première intégrale est de la forme de celles dont on vient de s'occuper; quant à ^intégrale
[idx
où D est un diviseur de P, elle se ramène à un terme algébrique et aux intégrales Y.
En effet, D" étant premier avec le produit D'S, soient ).| et {JL| deux polynômes tels que Ton ait X, D" -f- uii D'S — |jl; Tintégrale considérée peut s'écrire
Ecrivons la seconde de ces deux intégrales, en remplaçant P par SD,
[i, v/S -- -y dXy
et intégrons par parties en posant
M ^ [Al V'b, r = ,
il vient
C'est encore une formule de réduction, mais ici, à cause de l'exposant fractionnaire n — -7 on peut pousser la réduction jusqu'au
terme où D ne figure plus qu'à la première puissance au dénominateur, et l'on arrive à un résultat de la forme
H et K étant deux pol^^nomes.
En définitive, toute intégrale / — r^- se ramène à une parti
algébrique et à une somme d'intégrales de la forme
/.rf^dx rXif/x "7p"' J x/p"
où m est au plus égal k p — 2, où X est premier avec sa dérivée X' et avec P et où X| est d'un degré inférieur à celui de X. Cette réduction n'exige que des additions, multiplications et diçisions de polynômes.
