II. — INTÉGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES

Si Ton coDuaît les racines de Téquation X == o, on peut décomposer chacune des fractions rationnelles -^ d une somme de fractions simples de la forme

A Ba?-f-C

a;— a' (a? — a)*-f- fJ*'

A, B, C étant des constantes, de sorte qu'on est conduit à deux nouveaux types d'intégrales

/dv r (hx-^Odx

{T — a))/Pl^)' J [(j:a)2^J5l]/p(F)'

<|u'on peut ramener à un seul, le premier des deux, en convenant d'admeltre pour le paramètre a des valeurs imaginaires. Les intéiçrales de cette forme sont appelées intégrales de troisième espèce. On appelle intégrales de première espèce les intégrales Y;,,, où m

est inférieur à - — i; les intégrales Y,«, où m est égal ou supé-

rieur à ^ — i, sont les intégrales de deuxième espèce. Les inté-

grales de première espèce possèdent une propriété caractéristique : elles conservent une valeur finie lorsque la limite supérieure de l'intégrale croît indéfiniment ou devient égale à une racine de P(:r) (n°* 89-90). Mais la distinction actuelle entre les intégrales de deuxième et de troisième espèce ne doit être acceptée qu'à titre provisoire. La véritable distinction sera faite plus tard.

Remarque, — Nous n'avons rien supposé jusqu'ici sur le <legré/? du polynôme P(^). Si ce polynôme est de degré impair, on peut toujours augmenter le degré d'une unité. Soit en effet P(.r) un polynôme de degré 2<7 — i

posons X ^=^ a -\ — > a n'étant pas racine de ^{x). Il vient

V(x) = P(a)-h via) - -f-. ..H -p — — - = — - — ,

P,(j^) désignant un polynôme de degré 2,q, On a par suite

26o CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDEFINIES.

et toute intégrale qui contient rationnellement x et \l^{^x) se change en une^iintégrale d'une fonction rationnelle de y et

dev/P7(7).

Inversement, si Ton a sous le radical un polynôme P(^) de degré pair 29, on peut abaisser d'une unité le degré de ce polynôme, pourvu qu^on en connaisse une racine. Soit en effet a

une racine de l'équation P(^) = o ; en posant j? ^^ a -\ — » il vient P,(^) étant de degré 2.q — i, et on a par suite

La nouvelle intégrale ne contiendra d'autre irrationalité que y/Pi (y) sous le signe d'intégration.

ili. Cas d'intégration algébrique. — Étant donnée une intégrale de la forme

nous venons de voir qu'on peut toujours, par des calculs élémentaires, la ramener à l'intégrale d'une fraction rationnelle, à un terme algébrique de

G sfPTx) la forme — - et à une somme d'intégrales de première, de deuxième

et de troisième espèce. Comme on peut aussi trouver, par des opérations élémentaires, la partie rationnelle de l'intégrale d*une fraction rationnelle, on voit qu'on peut, toujours mettre l'intégrale proposée sous la forme

f^[x, ^?(x)]dx=^ ¥[x, /P(aô]-+-T,

F étant une fonction rationnelle de x et de /P(a?), et T étant égal à une

somme d'intégrales des trois espèces et d'une intégrale / ~ dx^ où X est

premier avec sa dérivée et où Xj est d'un degré inférieur à celui de X. Liouville a démontré que, si l'intégrale proposée est algébrique, elle est

égale à F [a;, v/P(ir)], de sorte qu'on doit avoir identiquement

R[^, /PTi)]= ^ JF[a-, /P(F)]}, et par suite T = o.

On peut donc reconnaitre, par des multiplications et divisions de