II. — INTEGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES

polynômes, si l'intégrale proposée est algébrique et trouver, dans ce cas, la valeur de cette intégrale.

112. Intégrales elliptiques. — Lorsque le polynôme P(^) est du second degré, la méthode de réduction générale qui vient d'être exposée permet de ramener l'intégration d'une fonction rationnelle de X et de \/P{x) au calcul des intégrales

dx r dx

/dx r dx

que l'on a appris à calculer directement (n® lOo).

Le cas le plus simple après celui-là est celui des intégrales elliptiques, où P(^) est du troisième ou du quatrième degré; les deux cas se ramènent d'ailleurs l'un à l'autre, comme nous venons de le voir. Soit donc P(^) un polynôme du quatrième degré, n'ayant que des facteurs linéaires simples, et à coefficients réels; nous allons d'abord montrer qu'on peut toujours, par une substitution linéaire réelle, le ramener à un polynôme n'ayant que des termes de degré pair.

Soient a, b^ c, d les quatre racines de P(^) = o. Il existe une relation d'involution

( 7 ) hx'x' -4- M (ar' -f- a:') H- N = o,

qui est vérifiée par x' =^ a, x''= b et par ocf = c, x^ =z rf. On a, pour déterminer les coefficients L, M, N, les deux relations

Laô-4-M(a-H6)-f- N = o, hcd H- M ( c -h û?) -4- N = o,

et l'on voit qu'on peut prendre

L = a-^b — c — d, M — crf — ab^ ^ = ab(c -hd) — cd{a -\- b).

Appelons a et ^ les points doubles de l'involulion précédente, c'esl-à-dire les racines de l'équation

la condition de réalité de ces racines

{cd — ab)^ — (a -h b — c — d)[ab(c -i-d) — cd{a ■+■ b)] > o

a6'2 CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDÉFINIES.

peut s'écrire, comme le prouve un calcul facile,

On peut toujours s'arranger de façon que cette condition soit vérifiée. Si les quatre racines a, t, c, d sont réelles, il suffira de prendre pour a et 6 les deux plus grandes; les quatre facteurs de (8) sont alors positifs. Si l'équation V{x)^rzz o a deux racines réelles seulement, on prendra pour a et 6 ces deux racines réelles et pour c el d les deux racines imaginaires conjuguées; les facteurs a — c et a — rfsont alors des imaginaires conjuguées, ainsi que b — c et 6 — d. Enfin, si les quatre racines sont imaginaires, on prendra pour a el b deux racines conjuguées, et pour c et rf les deux autres racines conjuguées. Les quatre facteurs de (8) sont encore conjugués deux à deux. D'ailleurs les valeurs correspondantes de L, M, jN sont réelles.

Gela posé, observons que la relation (/j) peut s'écrire

SI nous posons - ^ = r, ou :r = ^-^ > il vient

^ ar — p " y — ^

Pi{y) étant un nouveau polynôme du quatrième degré à coefficients réels dont les racines sont

D'après la formule (9), ces quatre racines vérifient par couples la relation j'' -H j'"= o; le polynôme P| (y) n'a donc que des termes de degré pair.

Si les quatre racines a,b,c^ rf vérifient la relation a -\- b ^= c -h dy on a L = o, et l'un des points doubles de l'involution s'en va à

l'infini. En posant a ^^ — ^» l'équation (7) peut s'écrire

x' — OL-^ x" - - a -- O,

et il suffira de poser ^ = a 4-j^, pour obtenir un polynôme n'ayant que des termes de degré pair.