II. — INTÉGRALES ELLIPTIQUBd ET ULTRA-ELLIPTIQUES. a6i
Nous pouvons donc supposer P(^) ramené à la forme canonique
P(:r)= Aoa-*-- A,a:«-r-A.:;
toute intégrale elliptique se ramène alors, abstraction faite d'un terme algébrique et de l'intégrale d'une fonction rationnelle, aux intégrales
X* dx
/dx r xdx r
v/Aox*H-A|ar*-i-A, ,/ /Â^ÏM^TÂT^H-Aj J /ÏJ
a7*-+-Aia?*-+-Aj
et à des intégrales de la forme
dx
L'intégrale
{x — rt)V' Ao^-^H- Aiir*-+- At /••* dx
J,. \/Âoa7*-h Aja-» -T- As
est l'intégrale elliptique de première espèce; si l'on considère inversement x comme fonction de w, on a une fonction elliptique. La seconde intégrale se ramène à une intégrale élémentaire en posant x- r= a. La troisième intégrale
x^ dx
V^Ao a:* -f- At a?* -f- Aj
est rintégrale de seconde espèce de Legendre. Enfin on peut écrire
dx r xdx r dx
{x — a)^¥{x) j (.rî — rt^j/PV^'j J (x^--a^)
)^Pix)
l'intégrale
dx
(a7*H- /i)v/AoX^-i \iX^-T-Ai
est l'intégrale de troisième espèce de Legendre.
Les intégrales elliptiques ont été appelées ainsi, parce qu'on
les a d'abord rencontrées dans le problème de la rectification de
Tellipse. Soient
ar — acoscp, ^* = 6sincp
les coordonnées d'un point d'une ellipse; on a
ds"- = dx' -h dy^ — (a*sin^çp ~r- 6* cos*cp)t/çp^.
264 CHAPITRE V. — INTEGRALES INDÉFINIES.
ce qu'on peut encore écrire, en posant a^ — b^=z=e^a^^
et rinlégrale qui représente un arc d'ellipse devient, en posant
COS'f r^ /,
— ==- at — a I — dt :
un arc d'ellipse s'exprime, comme Ton voit, par la somme d'une intégrale de première espèce et d'une intégrale de seconde espèce.
Prenons encore la lemniscate représentée par les équations
on trouve, en faisant le calcul, que Ton a
ds^ ^ dx^ -h dy^ = ,^^ , dt^.
L'arc de la lemniscate s'exprime donc par une intégrale elliptique de première espèce (*).
113. Intégrales pseudo-elliptiques. — 11 arrive quelquefois qu'une inté-
j,'rale / F [a?, ^ï^{x)\dx, où P(iF) est un polynôme du troisième ou du
quatrième degré, peut s'exprimer au moyen d'une fonction algébrique cl d'une somme de logarithmes de fonctions algébriques, en nombre fini; de pareilles intégrales sont dites pseudo-elliptiques. Voici un cas assez étendu où il en est ainsi : Soit
(lo) Lx'x'-^ M(:r'-+- ar')-^ N =- o
une relation d^involution faisant correspondre deux à deur les quatre racines de V équation du quatrième degré ^{x)—o\ si la fonction rationnelle f{x) est telle que Von ait identiquement
/fix) dx — est pseudo-elliptique.
/P(ar)
Soient a, ^ les points doubles de l'inYolution; la relation (lo) peut
(*) Celte propriélé appartienl à toute une classe de courbes découvertes par Serrel {Cours de Calcul différentiel et intégral, t. II, p. 26^).
