II. — - 1NTÉ6RALBS ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES. 26S
s*écnre, comme on Ta déjà remarqué,
X — a Cela étant, faisons dans l'intégrale la substitution ^ =~J'* *! vient
et par suite
Pi (J^) étant un polynôme du quatrième degré qui ne renferme que les puissances paires de^ (n* 112). Quant à la fraction rationnelle /(a?), elle se change en une fraction rationnelle <p(^), telle que l'on ait identiquement o(^)-i-o( — ^)~o; car, si deux valeurs de x sont liées par la relation (r/), les valeurs correspondantes y\ y" à^ y vérifient la relation y^-^y" m o. On voit donc que la fonction tp(^) est de la forme y^(y^)j ^ étant une fonction rationnelle de y^\ l'intégrale proposée devient par conséquent
y^{y^)dy
>/Ao7*-h At^»-h-A,
et il suffit de poser ^- = z pour être ramené à une intégrale élémentaire. La proposition est donc établie, et Ton a de plus le moyen d^effectuer la réduction.
Le théorème est encore vrai, si le polynôme P(ar) est du troisième degré, pourvu qu'on regarde une des racines de ce polynôme comme infinie. La démonstration est tout à fait semblable à la précédente.
Par exemple, si l'équation P(x) = o est une équation réciproque, une des
relations d'involution qui permutent les racines deux à deux est x'x" = i.
Par suite, si une fonction rationnelle /(o?) est telle que l'on ait identique-
/ I \ /* f( x) dx ment /(>)-+-/( - ) — o, l'intégrale 1 ' i est pseudo-elliptique, et il
suffit de poser successivement — — —yy puis >^* — z, pour être ramené
à une intégrale élémentaire.
Supposons encore que P(ar) soit un polynôme du troisième degré
nous poserons a — ac, 6 .- o, c — i, rf -- — . Il existe trois relations d'involution permutant ces racines deux à deux
si donc une fonction rationnelle /(a:) satisfait à Tune des relations
l'intégrale
f{x)dx
est pseudo-elliptique. De celles-là on peut en déduire de nouvelles. Par exemple, en posant x = 5*, l'intégrale précédente devient
2/( 5« ) dx
et l'on en conclut que cette nouvelle intégrale est aussi pseudo-elliptique, si /(>5-) satisfait à l'une des relations
le premier cas avait di'jà été remarqué par Ëuler (*).
m. — INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.
114. Intégration des fonctions rationnelles de si nj; et de ces x. — On sait que sino: et cosa; s'expriment rationnellement au
moyen de lang- = / et ce changement de variable permet de
ramener le calcul d'une intégrale de la forme
/ R(sinar, ç.o^x)dx^
à rintégration d'une fonction rationnelle de t. On a en effet
, idt . it I — /*
ar — -2 arc taner/, dx ^rz , sinj?=- — -1 cos j? — - —
( ') Voir le Cours lithographie de M. Hermiie, '1" édition, pages 25-38.
m. — INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANT KS. I^S-J
et l'intégrale proposée devient
<>(/) désignant une l'onction rationnelle. On a, par exemple,
J sino? ,/ f ^
et par suite
/— — =:log(tang - ).
se ramène à la précédente en posant x = - — y^
ce qui donne
La méthode précédente a l'avantage d'être générale, mais on peut souvent trouver des changements de variable conduisant plus rapidement au but. Ainsi, lorsque la fonction /(sinx, cosx) admet la période 77, elle est égale à une fonction rationnelle de tang jTy F ( langx ), et, en prenant tango: = t pour nouvelle variable, il vient
J h ( tanga:) dx = J -^fi ' Par exemple, soit à calculer l'intégrale indéfinie
dx
A cos*J7 -H B sin.r cosa: -r- G siii*wC -1- D
A, B, C, D étant des constantes quelconques. La fonction sous le signe d*intégration admet bien la période t<\ on a, en posant
tang^ ::rz /,
cos'o? — , s\nx QO%x = J sin'a? = ->
et l'intégrale proposée devient
La forme de l'intégrale dépendra de la nature des racines du
dt
dénominateur. Si Ton suppose nuls trois des coefficients, on trouve les formules
/dx r dx . , ^
dx - .— r— = — cotanga?, sin'ar
Lorsque la fonction à intégrer est de la forme R( sina:)cosx, ou de la forme R(cosa:)sina:, le changement de variable est tout indiqué ; on posera sina: =r t dans le premier cas et coso; = / dans le second cas.
Il est quelquefois avantageux de faire un premier changement de variable pour simplifier la fonction sous le signe d'intégration, avant d'appliquer la méthode générale. Soit, par exemple, l'inté-
grale
dx
a cosa: -t- b %\nx -h c
a, b, c étant trois constantes quelconques. Déterminons un nombre positif p et un angle cp par les relations
a = p coso, b = p sino, d'où l'on tire
p = ^a* -H 6*t coscp = I sino =
l'intégrale proposée peut s'écrire
/dx r dy
pcos(a; — o)-^c J p cosy -t- c^
en posant x — © .-^y. Si l'on applique maintenant la méthode générale en posant tang— =^ /, l'intégrale devient
2dt
p-hc-+-(c — p)f*'
le calcul s'achève sans difficulté et l'on obtient deux formes différentes pour l'intégrale, suivant le signe de
