INTÉGRATION DES PONCTIONS TRANSCENDANTES. Vl

On ramène à la précédente l'intégrale

m cosT -^ n siuT -h p .

i : aJ?.

a cosjc -t- à %\nx -f- c

Soit, pour abréger, u-^ acofyX -\- b s\nx -\- c\ déterminons trois constantes X, jjl, v, de façon que Ton ait identiquement

m cosa? -I- n sinar H-/? — A a -h fji -^ — i- v.

Nous avons pour cela à résoudre les trois équations

m = \a-\-\xbj n — Xb — jjia, />=:Xc-^v,

dont les deux premières donnent X et p.; ces constantes étant choisies de cette façon, Tintégrale proposée peut s'écrire

^ du

^ ^ dx , ^ , r d.r

dx -- Ax -^ [JL loga -f- V I —

u J a cosx -\- bsïnx -^ c

Exemple, - Soit à calculer l'intégrale définie

"^ dx

^ \-\- e cos a:

où \e\ < I.

Considérons d'abord l'intégrale indéfinie; on trouve successivement

Ç dx r dj^ 1 r du

J i T- e cosa? ~ ^/n-c-i-(i— e)/*~ J~i~— ë'^J n- w*'

en posant d'abord tang- = t^ puis / = wl / • L'intégrale indéfinie

est donc égale à

---^ arc tang( I /lJZ^ tang- V

Lorsque x varie de » à ic, 4 / tang- croît de o à h- », et l'arc lang

varie de o à -• L'intégrale définie cherchée est donc égale à

115. Formules de réduction. — Pour certaines catégories d'intégrales, on peut appliquer aussi des formules de réduction. Par exemple, la formule qui donne la dérivée de tang''"*:^ peut

•270 CHAPITRE V. — INTEGRALES INDEFINIES.

s'écrire

el l'on en déduit

L'exposant de tango: sous le signe d'intégration est diminué de deux unités. En continuant de la sorte, on sera ramené à l'une des deux intégrales

/ dx — 37, / ian^xdx = — log(cosa:').

Il existe une formule de réduction analogue pour ]es intégrales

/ cof^'^r dx,

/, cot«-»a7 r „ ,

coV^xdx = — — I coV^~^x dx.

D'une façon plus générale, considérons l'intégrale

/ S\X\"^XC09>"X dXy

où m et /i sont des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Lorsque l'un de ces nombres est impair, il y a avantage à employer un des changements de variable indiqués plus haut. Si, par exemple, /i -- 2/? 4- i , on posera sin j: = ^ et l'on sera ramené

au calcul de l'intégrale / /"'(i — t^)P dt.

Bornons-nous au cas où m et n sont pairs tous les deux, c'està-dire aux intégrales

ï = / s\n***^x cos^^^x dx.

On peut écrire cette intégrale

ï = / sin2"»-ïa?cos*'»a?sina? rfa?

et intégrer par parties, en considérant cos*"^sinjc<ate comme la