III. — INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

difTërentielle de cos^^+'x, ce qui donne

Icos*'*"*"* X '1 m I /* /«,» 'in-r-i in-^ij

formule que l'on peut encore écrire

sipsm-i .7. cos*»-»-» X a /W — I

•2(m-Hn) 2(m-t-/i) l,;,-i,/»*

cette formule permet de diminuer Texposanl m, sans changer le second exposant. Si m est négatif, on aura une formule analogue

obtenue en résolvant la relation (A) par rapport à ï et rem-

plaçant m par i — m,

l.«» » j — im i — 2 m 1

On a des formules toutes pareilles pour réduire l'exposant de cosj:.

X ». » il ni-^ n) 'li m -t- n) M.,

^ T sin*'»-^-*a7C0S*-*'»a: 2(m-4-i — n) -r

En appliquant ces formules de réduction autant de fois qu'il est nécessaire, on ramènera chacun des nombres m et n k être nul. On ne pourrait être arrêté dans le courant du calcul que si l'on arrivait à une intégrale im,n où m -j- /i = o, c'est-à-dire à une des intégrales pour lesquelles on a établi une formule de réduction au début de ce paragraphe.

116. Fomiule de Wallis. — 11 existe aussi des formules de réduction, quelle que soit la parité des exposants m et n.

Proposons-nous, par exemple^ de calculer l'intégrale définie

l,„ = / sin"^x dxy

où m est un nombre entier positif. Nous pouvons écrire, en intégrant par

^y'-A CHAPITRE V. — INTEGRALES INDÉFINIES.

parties

sin^f^-^xsinx dx=-. — [cosj? sin"«-ia?]*-i-(/n— - i) / sin'"-*cos*a7rfx, ou encore, en remarquant que cosa? sin'»-*a: s'annule aux deux limites,

I/M =(m- I) / sin"«-ïar(i — sin«ar)û?d? = (m — i)(1m-j— !«), ce qui conduit à la formule de récurrence

(li) Jw^^ *WI— î-

m En continuant de la sorte, on sera ramené soit à Tintégrale 1^= -> si

m est pair, soit à l'intégrale Ii = i, si m est impair. Prenons le premier cas, m ^ ip] en remplaçant successivement m par a, 4) ^^ . . .2j9 dans la formule ( i3), il vient

et, en multipliant membre à membre toutes ces égalités, il reste