III. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE. 3l
plifie dans certains cas d'une application fréquente dans la pratiqua. Ainsi, soit à calculer la diflérentielle totale d'ordre n d'un produit de deux facteurs o)r=w(^. .On a, pour les premières valeurs de /i,
rfa> = vdu -f- u dv, d^ta = v d^u-h ^dudv -^ u d*v,
et, d'une manière générale, il est visible, d'après la loi de formalion de ces diflerentielles, que l'on a
df^ oi = ç d" u -h Cl dv <i'* - * u -{-C^d^v rf'»-* m -h . . . -i- « ^« p,
C|, Ca, . . . étant des nombres entiers positifs. On pourrait démontrer de proche en proche que ces coefficients sont identiques à ceux du développement de (a -H è)", mais on y arrive d'une façon plus élégante au moyen de l'artifice suivant qui s'applique à une foule de questions du même genre. Observons que G|, Co, . . ., Cp, ... ne dépendent pas de la nature des fonctions u et (^; il suffit donc de les déterminer pour des fonctions particulières. Prenons pour cela u = e^, ç; = e^, x et y étant deux variables indépendantes; on a
co = e'-^r, d(si = e^+y(dx -i- dy), . . . , rf«a> — e^-^y{dx -h dy^^
du = e'dx, d*u = e^dx^y . . . , di> = eydy, d^v = erdy^,
et la formule générale devient, après avoir divisé par e-^^,
(dx -^ dyY = dx^-^ Ci dy dx^-^-r- C^dy^dx^-^-h. .,-r- dy'K
Comme dx et dy sont arbitraires, il s'ensuit que l'on doit avoir n ^ n(n—i) n(/i — i) ... (n— -/?-!- 1>
V»| — y Kjf = f • • • > Un = > • • •
I I . tl '^ 1.2.../?
et la formule générale est par conséquent
<i3) d'*(uv)= vd'^U'^- - dv d'^-^u-h ^^^'~" d^ v d"-^ u -r- . ..-i-ud^^v,
Cette formule s'applique quel que soit le nombre des variables indépendantes; si, en particulier, m et p sont fonctions d'une seule variable x^ on aura, en divisant par dx", l'expression de la dérivée w'*"* d'un produit de deux facteurs.
11 existe des formules analogues à la formule (i3) pour le pro-
duit d'un nombre quelconque de facteurs. On les démontre de la même manière.
La formule qui donne rf^o) se simplifie également lorsque les fonctions intermédiaires Uy Vy w sont des fonctions entières et linéaires des variables indépendantes x^ y^ 5,
u — ax -\-hy -t cz -+-/,
w = a'x -h fy -h c'z -h/',
les coefficients a, a', a^, 6, 6', . . . , étant des constantes. On a
du = adx -h b dy -h c dz,
dç = a'dx -^-h' dy '\- c'dz,
dw = a" dx -f- b" dy -+- c' dz^
et toutes les différentielles d'^u^ d'^Çy d^w^ où /i > i , sont nulles. La formule qui donne rf"(o est donc la même que si m, 9, w étaient les variables indépendantes
/dF , d¥ ^ dF ^ \(«)
rf « w = ( ^- a a -+- -— a(> -4- -T— dw ] . \du dv ôw J
Voici une application de cette remarque.
18. Fonctions homogènes. — Une fonction <p(^, y^ z) est dite homogène et de degré m, si Ton a identiquement
^(fa:, ty, tz)= t'"f{x, y, z).
Considérons pour un moment a:, y, z comme ayant des valeurs déterminées et t comme la seule variable indépendante ; la formule précédente peut s'écrire
en posant
u = tx, V = ty, w = iz.
Égalons les différentielles d'ordre n des deux membres en
observant que m, v^ w sont des fonctions linéaires de t et que
l'on a
du = xdtf dç=ydtj dw = zdt;
il vient, d'après la remarque de tout à l'heure^ en supprimant le
m. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE. 33
facteur commua dl",
Si maintenant on fait t==: i, u^ v, iv se réduisent k x, y^ z et un terme quelconque du premier membre supposé développé
se réduit à
Ao7/- -; :— — ; — xPy*i zf ;
ày CD est donc conduit à Tégalité symbolique
^ ô'x '^'^dy '^^âz) =''K''* — ')-.-(«^-«-M)?('^,r, -)i
qui se réduit pour n= i à la formule bien connue
, . ào d^D do
moix.y. z)-=x-— -^Y-r-~^^ -r-* ' ^ ' "^ ' ^ dx -^ ày Oz
Notations diverses, — En définitive, nous avons trois notations pour représenter les dérivées partielles des différents ordres d'une fonction de plusieurs variables, celle de Leibniz, celle de Lagrange et celle de Cauchy. Ces diflférenles notations ont l'inconvénient d'être un peu surchargées et deviennent rapidement fastidieuses dès que Ton a un calcul un peu long à effectuer. Aussi a-t-on imaginé diverses notations plus abrégées. Une des plus employées est celle que l'on doit à Monge pour les dérivées partielles du premier et du second ordre d'une fonction de deux variables; si z est une fonction des deux variables x ety, on pose
()z dz d^z d^ z d^z
^ dx dy dx^ dx dy dy^
et les difTérentielles totales dz et d^z ont pour expressions
dz = p dx -+- y dyy
d^z = r dx^ -1-25 dx dy -h t dy*.
Une autre notation que l'on commence à employer est la suivante. Si z est une fonction d'un nombre quelconque n de variables
indépendantes ^i, Xz^ • . • 7 ^/j, on pose
quelques-uns des indices ai , as, . . . , a,, pouvant être nuls.
19. Applications. — Soii y r=f{x) Téquation d'une courbe plane C, rapportée à deux axes rectangulaires. La tangente en un point M(:r, j^) de cette courbe a pour équation
la normale, c'est-à-dire la perpendiculaire à la tangente menée par le
point de contact, a pour coefficient angulaire ,y et son équation est
par conséquent
Soient P le pied de l'ordonnée, T et N les points de rencontre de Taxe des ^ avec la tangente et la normale; la longueur PN s'appelle la sousnormale, PT est la sous-tangente, MN la normale et MT la tangente.
Fig. 2.
De Téquation de la normale on tire pour l'abscisse du point N la valeur x-\- yy\ ce qui montre que la sous-normale est égale à •±iyy . Si l'on convient d'appeler sous-normale la longueur PN affectée d'un signe, le signe -+- ou le signe — suivant que la direction de P vers N coïncide avec la direction positive de ox ou avec la direction opposée, la sous-normale a pour expression yy\ quelle que soit la disposition de la courbe G.
L'expression de la sous-tangente est de môme — -7
Quant aux longueurs MN et MT, les triangles rectangles MPN et MPT nous donnent respectivement
MN = Vmp" -f- PN' =: j^ yj\ -i-y«,
MT = Vmp' -4- PT* = 4 /i"H-*y*,
m. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE. 35
On peul se proposer sur ces lignes diverses questions. Cherchons, par exemple, toutes les courbes dont la sous-normale est constante et égale à une longueur donnée a ; cela revient à trouver toutes les fonctions^ —f(^x) •satisfaisant à la relation yy' — a. Le premier membre est la dérivée
de - -> le second membre la dérivée de ax\ ces deux fonctions ne doivent 'à.
diCTércr que par une constante, et l'on a
y'^ — lar -f- C,
équation d'une parabole ayant ox pour a\e de symétrie. En cherchant de même les courbes dont la sous-tangente est constante, on est conduit à Téquation
d'où l'on tire
\osy --- - r- iogC, ou y — Ce'',
équation d'une courbe transcendante, asymptote à l'axe des^. Pour trouver
les courbes dont la normale est constante, on a l'équation y y^i -^-y'^ = a, qui peut encore s'écrire
le premier membre est la dérivée de — v^«*- .x*, et l'on a, par conséquent,
ou
équation d'un cercle de rayon a, ayant son centre sur l'axe ox.
Les courbes dont la tangente est constante sont des courbes transcendantes, que nous étudierons plus tard.
Soient maintenant y =f(x)^ Y = F(x) les équations de deux courbes planes G, G', et soient M, M' les deux points correspondant à une même abscisse x. Pour que les sous-normales aux deux courbes G et G' aux points correspondants aient la même longueur, il faut et il suffit que Ton ait
\'= :^yy ,
et par suite Y* = ±:y^-¥- G, le double signe provenant de ce que les sousnormales peuvent être dirigées dans le même sens ou en sens opposé. On satisfait à la relation précédente en posant
ou
ce qui donne une construction facile de la normale à l'ellipse et à l'hyperbole.
1. Soit p =/((!>) l'équation en coordonnées polaires d'une courbe plane. Par le pôle O on mène une droite perpendiculaire au rayon vecteur OM, dont on prend l'intersection avec la tangente MT et la normale MN. On demande d'exprimer les diverses lignes OT, ON, MN, MT en fonction de /(w) et de/'(a>).
Quelles sont les courbes pour lesquelles l'une de ces lignes est constante?
Fig. 3.
2. Soient y =/{^)t ^ = ^{^) Jcs équations d'une courbe gauche T; soit N le point où le plan normal en un point M, c'est-à-dire le plan perpendiculaire à la tangente, rencontre Taxe des z^ et soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur Oz, Quelles sont les courbes F pour lesquelles une des lignes PN ou MN est constante?
B. Ces courbes sont situées sur des paraboloides de révolution ou des sphères.
3. Déterminer un polynôme entier en x et du septième degré /(a?), sachant que f{x) -h i est divisible par (j? — i)* et f(x) — i par {x -h i)*. Généraliser la question.
4 Soient P et Q deux polynômes entiers en x tels que l'on ait
EXERGICBS. 37
on a, en désignant par n un nombre enlier,
dP ndx
R. De la relation
on tire, en différentiant,
{h) — 2PP'=Q[2Q'(i — T») — aQa: ;
la relation (a) montre que Q est premier avec F, et la seconde que Q divise F'.
5. *Soit R(:r) un polynôme du quatrième degré n'ayant que des racines
simples, et rr = ^ une fonction rationnelle de / telle que Ton ait
v/H(:r)=^/iM7),
P Ri(l) étant un polynôme du quatrième degré, et -^ une fonction rationnelle. Démontrer que cette fonction ^ satisfait à une relation de la forme
dx __ kdt
[Jagobi.] X' étant une constante.
R. On remarque que toutes les racines de Téquation R | ^ j — o^ qui n'an-
dx nulent pas R|(t), doivent annuler UV — VU' et, par suite --r*
6. 'La dérivée /i'*^*"* d'une fonction de fonction y = «p(u). où u est fonction de la variable indépendante rr, a pour expression
(a) ^-. ^A,o'(m)-+--^cd'(w)-1-...h ^^^— cp^«î(wX
^ ' dx>^ » . ^ ^ 1.2 ' ^ ^ 1.-2. ../i • ^ ''
où
/ ^ rf«a* k rf«z/A-ï kik — x) , rf«M^-«
, , , \ dx^ 1 eu:'* 1 . 2 dx*^
On remarque d'abord que l'expression de la dérivée d'ordre n est de la forme (a), les coefficients Ai, As, . . ., A» ne dépendant pas de la forme de la fonction ^(u). Pour obtenir ces coefficients, il suffit de faire succès-
sÎYement ç(f^) = m, cp(w) = a', . . ., o(m) — ti", et de résoudre les équations obtenues par rapport aux coefficients A], A2, .... A,,; ce qui donnt* les valeurs (6).
