III. — INTEGRATION DES PONCTIONS TRANSCENDANTES

des factears augmente indéfiniment. La loi de succession des facteurs de ce produit est d'ailleurs évidente.

117. Des intégprales / cos(ax -4- b) cos{a'x -+- 6') . . . dx. —

Considérons un produit d\m nombre quelconque de facteurs de la forme cos(a^ + 6), a et b étant des constantes, et un même facteur pouvant figurer plusieurs fois dans le produit. La formule

cos(u-\- v) cos(u — v)

COSU COSC = H

remplace un produit de deux facteurs de cette espèce par une somme de deux cosinus de fonctions linéaires de x^ et un produit de n facteurs par la somme de deux produits de (/i — i) facteurs. En appliquant la même formule autant de fois qu'il est nécessaire, on arrivera à remplacer le produit considéré par une somme telle que SHcos(Aj:-i-B), dont chaque terme s'intègre immédiatement; si  n'est pas nul, on a

,. „. , sin(Aa?-f-B) ^ cos(Aa? -f- B) rfa? = — ^^ — r H- G,

et, dans le cas particulier où A zzz o, / cosB dx = x cosB + C. Cette transformation s'applique en particulier aux produits

cos'"a?sîn«a7, que l'on peut écrire

lorsque m et n sont deux nombres entiers positifs; en appliquant le procédé précédent, on remplace ce produit par une somme de sinus et de cosinus de multiples de l'arc, et l'intégration est immédiate.

Soit, par exemple, à calculer l'aire de la courbe

(^hd)'"-.

nous pouvons poser x = a cos' 0, j/* = b sin' 8, et nous obtiendrons toute la courbe en faisant varier 0 de o à 2ic.

La formule qui donne Paire d'une courbe fermée

jlo r= - / a: dy — y dx,

^ JlC.\

devient ici

mais on a

X= r -^sin»6cos«erfe;

(sîn6 cosO)'= - sin*2 0 = 5(1 — cos40), et Faire cherchée a pour valeur

•^=="i(rl.^--4^J„ =-8--

Citons encore les intég^rales

/. ^ , r\ — co%ix j X sinaa: ^ sin*a? dx = I dx = h G, J 1 24

/. , , /"Ssina: — sin Sa? , 3cosa? cos3a? sin'j: dx = I ; dx = ; 1 h C, J 4 4 12

/. , r3 — 4 ^os 2 a? -h cos 4 a: , Sa? sin2a? sin4a7 ^ sm xdx -J «^-^=-8- 4-"^~3^"^^'

/- /* ï -^ COSIX , X 510237 ^

cos^x dx = / dx = 1 h G, J '2 '^ i

/, /s cosa? H- cosSa? , 3sina? sin3a? ^ cos'a: dx = I , dx = ; — H h C, ./ 4 4 12

/, /"S -I- 4 cos2a7 -f- cos4a7 , 3ar sin2a; siniar cos*a? dx = / dx = 1 4- — -f- G»

On peut remarquer sur ces formules uue loi qui est générale.

Les intégrales F (^)= / sin^^rf^ et 4>(^)= / cos"xrf:csont

périodiques et admettent la période 2iz lorsque n est impair, tandis que, si n est pair, ces intégrales augmentent d'une quantité constante positive lorsque x augmente de air. Cette propriété était évidente a priori; on a en effet

f sia^xdx-^ I sin^xdxy

0 ^iit