Les intégrales / R{x)e*^dx. — Considérons maintenant

les intégrales de la forme / K(x)e^^dx, où R(^) est une fonction

rationnelle de x. Supposons que l'on décompose la fonction R(x), comme on Ta déjà fait plusieurs fois,

E(^), A|, A2, . ., A^, Xi, ..., X^ étant des polynômes, et le polynôme X/ étant premier avec sa dérivée. L'intégrale pro-

posée est alors égale à l'intégrale / E(x)e^^dx, que l'on a appris

à calculer (n** 85) par une suite d'intégrations par parties, augmentée d'une somme d'intégrales de la forme

A c<^* dx

Si n est plus grand que l'unité, on peut appliquer une formule

de réduction. En effet, le polynôme X élanl premier avec sa dérivée, déterminons deux polynômes X et jx tels que Ton ait identiquement A = XX + [jlX'; il vient alors

Une intégration par parties donne ensuite

et, en réunissant les deux formules, on voit que le calcul de l'intégrale considérée est ramené au calcul d'une intégrale de même espèce où l'exposant n est diminué d'une unité. En continuant de la sorte on est conduit à une intégrale

OÙ l'on peut toujours supposer le polynôme B premier avec X et de degré inférieur à celui de X. On ne peut plus appliquer à celte intégrale le procédé de réduction; mais, si l'on connaît les racines de X = o, on peut ramener cette intégrale à une seule transcendante nouvelle. Supposons, pour fixer les idées, toutes les racines réelles; l'intégrale se décompose en plusieurs intégrales de la forme

dx,

que l'on peut ramener à Tune ou l'autre des formes suivantes, en

posant a; =:: a H- — > w = e^, et faisant abstraction d'un facteur

constant,

/eïdy 'Ç du

Cette dernière intégrale / | est une fonction transcendante

qu'on appelle logarithme intégral.

119. Intégrales diverses. — Considérons encore les intégrales

/ c«^/(sinrF, cosa:) dx,

OÙ/ est une fonction entière de sîna: et de cosx. Un terme quel-