III. — INTÉGRATION DES FONCTIONS THANSCBNDANTES

conque de celte iatégrale est de la forme

/ ««•* sin'Wd? cos'»a? dx,

metn étant des nombres entiers et positifs. D'après une remarque déjà faîte, le produit sin^^^cos^o: peut être remplacé par une somme de sinus ou de cosinus de multiples de x, et Ton n'a en définitive que deux types d'intégrales à étudier

I e^^cosbxdx, 1 e^^slnbxdx.

En intégrant par parties chacune de ces intégrales, il vient

/, , e^^sinbx a T ... e^'cosox dx =^ T Vf e^^ siROx dx,

/. , , e^'cosbx a C , ,

e**^ sm b X dx = r ^ -> 1 e^'cosbxdx,

et Ton tire de ces relations

/, , e^'(a cosbx -h b s\nbx) e^^cosbx dx = ^^ ^ -9

e^^(asinbx — bcosbx)

c«* f>\ïibx dx =

Parmi les intégrales que l'on peut ramener aux précédentes, citons encore les types suivants :

I f(logx)x'ndx, //(arc sina?) rfjf,

j /(x) ^rcs'inx dxj //(a?) arc tanga?rfj?,

où / désigne une fonction entière. Dans les deux premières, on prendra pour nouvelle variable logj; ou arcsin^; dans les deux dernières, on appliquera d'abord une intégration par parties en considérant /(^)<ia: comme la différentielle d'un polynôme F(j7), ce qui conduira à des types déjà étudiés.

i. Calculer les intégrales indéfinies des fondions suivantes

(ar*-^i)* x{x^-i-if (ar*-f-i)3 i — )/x

1/ r ' i» i/T» 1 1/ 1" i I ■ i ■ t/T»/ »»• I , 1 \ COS X

X -\- ^ i -i- x^ I — v^i-f-j? v^a: -h ^^x -h IH- s/xi^x -4- i )

a"e-*^cosa:, — — » ri^tangj^,

yja -i- x'^ ^-

où LL est un nombre fractionnaire — •