I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. — FORMULE DE GREBN
rectangle x=^a^x = b^ y^=^c^ y^=dj dont les côtés passent par les quatre points A, B, C, D pour lesquels :r ou y est maximum ou minimum. Soient ( * )^4 = ©, (^r), ^2 = Ça (^) les équations des deux arcs de courbe ACB, ADB; soient de même x\ = i^^{y), X2=^^2{y) les équations des deux arcs de courbe CAD, CBD; Çi (x) et f 2(^) sont continues entre a et 6, i^^ {y) et ^/^{y) sont continues lorsque y varie de c à ^f. On peut calculer l'intégrale double d'une fonction f{x, y)^ continue à l'intérieur de ce contour, de deux façons différentes et, en égalant les deux expressions obtenues, il vient
f rf^ / f{^iy)ày^ I dy f f{x,y)dx\
on voit que les limites sont tout à fait différentes dans les deux intégrales. Tout contour convexe fournit une formule de cette nature. Par exemple, si l'on prend pour champ d'intégration le triangle limité par les droites y = o, x = a, ^ = :r, on parvient à une formule donnée par Lejeune-Dirichlet,
\ dx f f{x,y)dyr=f dyf /{x,y)dx,
1^. Analogies avec les Intégrales simples. — L'intégrale / f(t)dt,
considérée comme fonction de x, a pour dérivée y( a?). Il existe un théorème analogue pour les intégrales doubles. Soit/(:r,^) une fonction continue à l'intérieur d'un rectangle limité par les droites âr = a, â7 = Â, y = 6, j^ = B, (a < A, 6 < B). L'intégrale double de /(a:, y), étendue à l'aire du rectangle limité par les droites a? = a, ar = X, j^ = 6, ^ = Y, (a<X<A, 6<Y<B), est une fonction des coordonnées X, Y du sommet variable, que l'on peut écrire
F(X, Y) = y dxj f{x,y)dy.
Soit 4»(a:)= / f{Xy y)dy\ une première différentiation par rapport
à X nous donne
dX
( ' ) Le lecteur est prié de faire la figure.
et, en diiTérentiant de nouveau par rapport à Y, il vient
La fonction la plus générale u(X, Y) satisfaisant à la relation précédente (9) s'obtiendra évidemment en ajoutant à F(X, Y) une fonction z
dont la dérivée seconde .-. ...'sera nulle. Elle est donc de la forme (n°38>
</X ôx
(10) M(X,Y)= f dx Ç /(:r,j.)rfr^cp(X)H-^(Y),
^(X) et ^(Y) étant deux fonctions arbitraires. On peut disposer de ces deux fonctions arbitraires de façon que, pour X = a, u(X, Y) se réduise à une fonction donnée V(Y) et, pour Y = 6, à une autre fonction donnée U(X); ces deux fonctions étant liées nécessairement par la relation U(a) = V(6). En faisant successivement X = a, Y = 6 dans la relation précédente, on a les deux conditions
V(Y)=<p(a) + ^;(Y), U(X) = <p(X)+4/(6); on en tire
ç.(X) = U(X)-V(6)-H<p(«) et la formule (10) devient
(11) a(X,Y)= f dx f /(a:,J)c(r-^U(X)4-V(Y)^V(6).
Réciproquement^ si, par un moyen quelconque, on a obtenu une fonc^ tion i<(X, Y) vérifiant la relation (9) on trouve, par un calcul tout pareil au précédent, que l'on a, pour valeur de l'intégrale double
(12) I dx I /(ar,7)</7= a(X, Y) — M(X, 6) — tt(a, Y)-f-a(a, 6).
Cette formule est analogue à la formule fondamentale (6) {voirp, 173).
La formule suivante offre aussi une certaine analogie avec la formule d'intégration par parties.
Soit A une région finie du plan, limitée par une ou plusieurs courbes de forme quelconque. Une fonction /(ar, ^), continue dans A, varie entre un minimum Vq ^t un maximum V. Imaginons qu'on ait tracé les courbes de niveau f(Xf y) = p, où v est compris entre Pq et V, et supposons que l'on puisse trouver l'aire de la portion de A pour laquelle /(a?, y) est compris entre Vq et v. Cette aire est une fonction F(p)qui croît avec v, et l'aire comprise entre deux courbes de niveau infiniment voisines est égale à ¥(v-h ^v) — F{v) = ^vF\v -{-^ ^v), Si Ton décompose cette aire en
