I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. — FORMULE DE GRBBN. igS

parties infiniment petites par des lignes joignant les deux courbes de niveau voisines, on peut prendre dans chacune de ces parties un point (Ç, tj), tel que Ton ait /({, ti)= <; -t- 6 Ac et la somme des éléments de l'intégrale

double / I fdxdy, provenant de cette région, a pour expression L'intégrale double est donc égale à la limite de c'est-à-dire à Tintégrale simple

f v¥'(v)dv = \F(\)— f F{v)dv.

Celte méthode est surtout commode lorsque le champ d'intégration est limité par deux courbes de niveau

Soit, par exemple, à évaluer l'intégrale double / / ^ x-^- x^^y^dx dy

étendue à Fintéricur du cercle a?*-i-^*= i. Si nous posons v = /i-i-a?*-+-^', le champ d*intégration est limité par les deux courbes de niveau p = I)

i' = /a, et la fonction F(«;), qui est l'aire d'un cercle de rayon y/v^ — i, est égale à i7(('* — i). L'intégrale double est donc égale à

/ îTri^'ûTi' = --^ (a /a — i) (*).

La formule précédente s'étend aisément aux intégrales doubles

J J /(^yy)^(^fy)dxdyy

en désignant par F(p) l'intégrale double / / ^{x^ y)dx dy^ étendue à la portion du champ d'intégration limitée par la courbe de niveau p = f(x^ y).

126. Formule de Oreen. — Si la fonction /(x, y) est la dérivée partielle d'une fonction connue par rapport à x ou à y, une des intégrations s'efFectue ira média tement et Ton est ramené à une seule quadrature. Cette remarque bien simple conduit à une formule importante, appelée ybr/w m /^ de Green,

(') On trouvera de nombreuses applications de cette méthode dans un Mémoire de M. Catalan {Journal de Liouville, i** série, t. IV, p. 233).

Considérons d'abord une intégrale double / / -dxdy^ étendue

à la portion du plan, limitée par un contour C qui n'est rencontré qu'en deux points par une parallèle à l'axe àesy(Jig. i5, p. 21 1). Soient A et B les points pour lesquels x est maximum ou minimum. Une parallèle à O^ comprise entre Aa et B6 rencontre C en deux points nit et nii d'ordonnées^*! etj'2. L*intégrale double a pour expression, en intégrant d'abord par rapport ày,

Mais les deux intégrales 1 V{x^ y^)dx^ 1 ^{x^ y2)dx sont

précisément des intégrales curvilignes prises respectivement le long des arcs A/n|B et A/WaB, et nous pouvons écrire la formule précédente

l'intégrale curviligne étant prise le long du contour Cdans le sens indiqué par les flèches, c'est-à-dire dans le sens direct, si les axes ont la disposition de \^ figure. Pour étendre la formule à une aire limitée par un contour de forme quelconque, on procède comme plus haut (n° 94) en partageant cette aire en plusieurs autres par des transversales, de façon que le contour de chacune des aires partielles satisfasse à la condition précédente, et appliquant la formule à chacune d'elles. On établit de même la formule

l'intégrale curviligne étant toujours prise dans le même sens. En retranchant les égalités (i3) et (i4)> il vient

(.5) ^P^-HQ^^=//(g-|)^.<r.

l'intégrale double étant étendue à l'aire limitée par C. C'est la formule de Green, qui a d'importantes applications. Nous ferons remarquer seulement qu'en posant Q ^^ :r, P = — y^ on retrouve la formule obtenue plus haut (n® 94) qui exprime Taire d'une courbe fermée par une intégrale curviligne.