II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. — AIRE D'UNE SURFACE COURBE
Pour évaluer une intégrale double, nous avons supposé jusqu'ici qu'on décomposait le champ d'intégration en rectangles infiniment petits par des parallèles aux axes de coordonnées. Nous allons maintenant supposer qu'on décompose le champ d'intégration par deux familles de courbes absolument quelconques.
1â7. Formule préliminaire. — Soient u et v les coordonnées d'un point par rapport à un système d'axes rectangulaires dans un plan, X et y les coordonnées d'un autre point par rapport à un autre système d'axes rectangulaires de même disposition que les premiers, dans le même plan ou dans un plan différent. Les formules
(16) sc:^-f{u,v) y^-^{u,v)
définissent une certaine correspondance entre les points de ces deux plans. Nous supposerons : r* que ces fonctions /(m, ç^), cp(i/, v) sont continues et admettent des dérivées partielles continues, lorsque le point (e/, i^) décrit une portion Ai du plan (£/, v) limitée par un contour Ci; 7? que les formules (16) font correspondre à la portion A| du plan (w, v) une portion A du plan (x, y)^ llmilée par un contour C, et qu'il y a correspondance univoque entre les points des deux aires et des deux contours, de façon qu'à un point de A ne correspond qu'un
point de Aii 3° que le déterminant fonctionnel A =z ,^ / ' ^[ ne
change pas de signe à l'intérieur de C| (il peut d'ailleurs s'annuler en certains points de A|).
Il peut encore se présenter deux cas. Lorsque le point (a, v) décrit le contour C| dans le sens direct, le point {x^y) décrit le contour C en marchant toujours dans le même sens, qui peut être le sens direct ou le sens inverse. Nous dirons, suivant les cas, que la correspondance est directe ou inverse.
Cela posé, l'aire û de la portion A du plan a pour expression
il— L X dy.
l'intégrale étant prise le long du contour C dans le seos direct. Si Ton emploie le changemen t de variables défini parles formules (16), on a encore
la nouvelle intégrale étant prise le long de C| dans le sens direct; on doit prendre le signe -\- ou le signe — , suivant que la correspondance est directe ou inverse. Appliquons à cette nouvelle intégrale la formule de Green, en posant u=zx, v^^.y^ P=f^^
Q =/-^, ce qui nous donne
du àv D{Uy V)
et il vient
ou encore, en appliquant à l'intégrale double le théorème de la moyenne,
(17) û-bû.-p^^---.
(Ç, T^) étant les coordonnées d'un point intérieur à Ci, et Ûf Taire de la portion A| du plan (iiy (^). On voit d'abord que Ton doit prendre le signe -h ou le signe — devant le second membre, suivant que A est lui-même positif ou négatif. Par suite, la correspondance est directe ou inverse , suivant que ^ est positif ou négatif,
La formule (17) établit une analogie de plus entre les déterminants fonctionnels et les dérivées. Imaginons en eflfet que la por-
tion A| du plan diminue indéfiniment dans tous les sens, tous les points tendant vers un point limite (</, v). Il en sera de même de A, et le rapport des aires Q, û| a pour limite la valeur absolue du déterminant A; de même que la dérivée est la limite du rapport de deux éléments linéaires, A est la limite du rapport de deux éléments superficiels. La formule (17) est, à ce point de vue-là, l'analogue de la formule des accroissements finis.
Remarques, — Les hypothèses que nous avons faites sur la correspon-
