II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

dance entre A et Ai ne sont pas toutes indépendantes. Ainsi, pour que la correspondance soit univoque, il est nécessaire que A ne change pas de signe dans la portion A| du plan (u, v). Supposons en effet que A soit nul tout le long d'une courbe Yi) séparant la région de A} où A est positif de la région où A est négatif. Prenons un petit arc /ni ni de Yi et une région très petite de Ai renfermant Tare /ni ni; elle se décompose en deux régions ai et a\ ayant mini pour ligne de séparation {fig^ 26).

Fig. 26.

Lorsque le point (w, v) décrit l'aire ai, où A est positif, le point {x^y) décrit une aire a, de contour mnpniy et les deux contours //iini^i/ni, mnpm sont parcourus en même temps dans le sens direct. Lorsque le point (a, v) décrit l'aire a',, où A est négatif, le point f^x, y) décrit une aire a\ dont le contour nmqr doit être décrit dans le sens inverse, lorsque ni /ni ^1 ni est décrit dans le sens direct. Cette aire a' doit donc recouvrir en partie l'aire précédente a; à tout point {x^y) de la partie commune nrm correspondent deux points (m, i^) de part et d'autre de la ligne /ni ni.

Posonsj par exemple, X — or, Y =^*; on a A — iy. Si le point (rr, y) décrit une aire fermée renfermant un segment ab de l'axe des x, on voit sans peine que le point (X, Y) décrit deux aires situées au-dessus de l'axe des X, et terminées l'une et l'autre à un même segment AB de cet axe. Une feuille de papier repliée sur elle-même suivant une ligne droite tracée dans cette feuille donne une idée nette de la surface décrite par le point (X, Y).

II ne suffit pas que A conserve le même signe dans Ai pour que la correspondance soit univoque. Prenons par exemple X = a?* — /*, Y = ^xy\ le jacobien A = 4(a:*4-j^*) est toujours positif. Or les formules précédentes peuvent s'écrire, en désignant par (r, 6), (R, m) les coordonnées polaires des deux points (a:, y), (X, Y) respectivement, R = r', w = aO.

Cela posé, faisons varier r de a àô(a<6)et6 dco àir-f-afa étant

compris entre o et - )• Le point (R, w) décrit la couronne circulaire comprise entre les deux cercles de rayons a> et b^. Mais à toute valeur de l'angle (o comprise entre o et 2a correspondent deux valeurs de 0, l'une 61

3oo CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

comprise entre o et a, l'autre entre tc et ir -i- a. On peut encore se représenter l'aire décrite par le point (X, Y) au moyen d'une couronne circulaire en papier qui se recouvrirait partiellement.

128. Changement de variables. Première méthode. — Conservons les hypothèses faites plus haut sur les régions A et A,, et les formules (i6), et soit F(x, y) une fonction continue dans la région A. Décomposons la région A» en régions plus petites ai, aa, . . . , a;, d'une façon arbitraire; il y correspond une division de la région A en régions plus petites a,, aa, . . ., a«. Soient tOi et o-, les aires des deux régions correspondantes ai et a/; on a, d'après la formule (17),

D(a/, Vi)

(0/= ff/

Wi, Vi étant les coordonnées d'un point de la région a/. A ce point (w/, {>i) correspond un point Xi = /{uiy Vi), yi^=z^[ui^ iu) de la région a/. En posant ^(w, i>) =^ F[/(^/, v)^ cp(M, i^)], nous pouvons donc écrire

U[^Uij Vi) i—l / = 1

^F-Car/, 7/)w/ = 2*(^fl, i>i)

en passant à la limite^ nous obtenons l'égalité

^^'^flj^^'^^'^'^^fl.^^^^''' ^'' "?<"' "^^iSlèv)

cff/ rfw*.

Donc, pour effectuer un changement de variables dans une intégrale double, on doit remplacer x et y par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables m, p, et le produit dx dy par \\\du dv. Quant au nouveau champ d'intégration, nous avons expliqué comment on le détermine.

Pour trouver entre quelles limites doivent être effectuées les intégrations qui donnent la valeur de la nouvelle intégrale double, il est en général inutile de tracer le contour C^ du nouveau champ d'intégration A». Considérons, en effet, u et v comme un système de coordonnées curvilignes; lorsque, dans les formules (16), on attribue à l'une des variables ^/, c, une valeur constante, et qu'on fait varier l'autre, on obtient deux familles de courbes u = const. , V = const. D'après les hypothèses faites sur les formules (16), par