II. — CKANGEtlENTS DE VARIABLES. 3oi

chaque point de la région A il passe une courbe et une seule de chacune des deux familles. Supposons, pourfixcries idées, qu'une courbe f = const. rencontre le contour C en deux points seulement M,, M}, correspondant aux valeurs u,, u-^ àe »(», <[ifi) et que toutes les courbes (c) rencoulrant le contour C sont comprises entre les deux courbes i' =^ a, v = b (a <, b). Alors, si l'on intègre d'abord par rapport à u, v restant constant, on doit taire varier u de u^ à «i (u, et Kj sont en général des fonctions de v) et intégrer ensuite le résultat entre les limites a et b.

L'intégrale double cherchée a donc pour expression

J dvj"'F[/{u, *■), ^(u, v)]\i.[dudi: ^

Un changement de variables revient au fond à décomposer le champ d'intégration en régions infiniment petites par les deux systèmes de courbes (u) et (v). Soit w l'aire du quadrilatère curviligne limité par les courbes («), (u + du), (c), {v -i- dv), où du et dv sont positifs; à ce quadrilatère correspond, sur le plan {«, c), un rectangle de côtés du et dv. On a donc, d'après la formule (17), w ^= |i(Ç,T',)| dudv, pétant compris entre ueiu-\- du, ïl entre c et V -H rff. L'expression ]A(u, v)\dudv s'appelle Vêlement d'aire dans le système de coordonnées (m, v). La valeur exacte de ct)estco=;l|A(u,c)| -\- ^\ dudv, t étant infiniment petit en même temps que du et di>. Mais, quand on cherche la limite

de la somme JlF{Xj y)o>, on peut négliger e; en effet, A(m, ç) étant une fonction continue, on peut supposer les courbes (u) et (v) assez rapprochées pour que tous les e soient moindres en valeur absolue que tout nombre positif donné et, par conséquent, pour que la somme SF(x, y)tcludi> soit elle-même plus petite en valeur absolue que tout nombre positif.

129. Exemples : i° Coordonnées polaires, — Supposons que l'on passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires. On a a;=pcosti), y = psinci>, et l'on obtient tous les points du plan en faisant varier p de zéro à + oo, et (o de zéro à 2tz. On trouve A = p, de sorte que l'élément d'aire est p rfto rfp, comme la Géométrie le montre sans peine. Supposons d'abord qu'il s'agisse d'évaluer une intégrale double dans la portion du plan limitée par un arc AB qui n'est rencontré qu'en un point par une demi-droite issue de l'origine, et par les deux droites OA, OB faisant avec Ox des angles oj^ , (O2 {/ig- 17, p. 21 3). Soit R=/(a)) l'équation de l'arc AB; to étant compris entre (Oi et (Oa, p peut varier de zéro à R, et l'intégrale double de /{x, y) a pour valeur

/ dt3i I y(pcos(i), p s'iïnù)p dp.

Si l'arc AB forme une courbe fermée comprenant l'origine à son intérieur, on prendra (Oj =:::: o, 0)2= 2n, Tout champ d'intégration peut être décomposé en plusieurs régions telles que la précédente. Supposons, par exemple, que le contour C soit une courbe fermée convexe laissant l'origine à l'extérieur. Soient OA et OB les tangentes menées par l'origine à ce contour, R, =y, (to), R2=y*2(w) les équations des deux arcs de courbe ANB, AMB. Pour une valeur donnée de w, comprise entre a>, et 0)2, p peut varier de R| à R2, et l'on a pour valeur de l'intégrale double

f <f(o / /(p coso), p siDu>)p cfp.

2° Coordonnées elliptiques. — Considérons une famille de coniques homofocales