II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 3o
points m'^ et m\ du contour CI. Mais il peut se présenter deux cas suivant que la correspondance est directe ou inverse. Pour distinguer les deux cas, remarquons que, si -r-^, est positif, x croît
avec x\ les points m^ et /Wi, m'^ et m\ sont disposés comme la Jig, 29 rindique, et la correspondance est directe. Au contraire, si -r^, était négatif, la correspondance serait inverse.
Prenons le premier cas, et soient oto, ^m ^J,, x\ les abscisses des points /tIq, /ni, m^, m\. On a, en appliquant la formule du changement de variable dans une intégrale simple,
y et y étant considérés comme constants et, par suite,
j''dyj'^Y{x,y dx=j''dyj''¥[^{x\y\y]^,dx'.
y* ^r^ "ro
Mais le jacobien A se réduit ici à ~ et la formule précédente peut
s'écrire
f f ¥{x,y)dxdy= f f ¥[^{x\ y), y]\l\dx' dy,
La formule se démontre de la même façon si j^ est négatif et
s'étend évidemment à une région limitée par un contour de forme quelconque.
On établira tout pareillement qu'en posant
(22) x^x\ r = «Ka:',/),
on a la formule
f fv{x,y dxay=: f f F [x' , ^ {x\ y )]\ \\ dx' dy ,
le nouveau champ d'intégration A' correspondant point par point à la région A.
Considérons maintenant les formules générales de transformation
(23) iP=/(^i,^i), r=/u^i»/i),
3o6 CHAPiTEE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.
et, pour plus de clarté, désignons par (a:, y), {x^^ y^) les coordonnées de deux points correspondants m, M|, par rapport à un même système d'axes. Soient A, A| les régions correspondantes limitées par les contours C, C|. Si, aux deux points m, M|, on associe un point m' de coordonnées x^= X|, y=y^ ce point m' décrit une région auxiliaire A', et nous supposerons d'abord qu'elle correspond point par point à chacune des régions A, Af . Entre les six coordonnées x^ y^ ^ii yu ^'j JK'? on a les quatre relations
on en tire d'abord
(a4) x'=zxu y =Mxuyi)y
ce qui définit une transformation de la forme (22). De la relation y =/, (j;', y^) on tire ensuite ^1 = t^{x'^ ^), et par suite
(a5) oe=f{x\y^) = ^{x\y), y=y.
La transformation considérée (23) résulte donc des deux transformations particulières (24) et (25), auxquelles s'applique la formule générale. Elle s'applique donc aussi à la transformation (28) ellemême.
Remarque. — Nous avons supposé que la région décrite par le point m' correspondait point par point à chacune des aires A, A, . On peut toujours supposer qu'il en est ainsi. En effet, considérons les courbes de la région A| qui correspondent aux droites de A parallèles à Ox. Si ces courbes lie sont rencontrées qu'en un point par une parallèle à Oy il est clair qu'à un point m de A ne correspondra qu'un point mf de A'. Il suffira donc de partager l'aire A| en régions assez petites pour que, dans chacune d'elles, la condition soit satisfaite. Si ces courbes étaient des parallèles à O^, on commencerait par effectuer sur (jti, yi) une transformation de coordonnées.
131. Aire d'une surface courbe. — Soit S une portion de surface courbe, sans points singuliers, limitée par un contour F. Imaginons qu'on décompose S en portions plus petites d'une façon arbitraire. Soit Si une de ces portions, limitée par un contour y*» et m/ un point de Si. Menons le plan tangent en rrii à la surface S,
