II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

et supposons la portion Si assez petite pour qu'une perpendiculaire à ce plan ne la rencontre qu'en un point. La courbe y/ se projette sur ce plan suivant une courbe y^ et nous désignerons par 0-/ Taire de la portion du plan tangent intérieure à y^., région qui est la projection de 5/. La somme St,- tend vers une limite lorsque le nombre des portions 5/ augmente indéfiniment, chacune de ces régions devenant infiniment petite dans toutes ses dimensions. C'est cette limite qu'on appelle Vaire de la portion de surface S.

Soient X, y^ z les coordonnées rectangulaires d'un point de S; nous supposerons ces coordonnées exprimées en fonction de deux paramètres variables u elv^

de telle façon que la portion de surface S corresponde point par point à la région R du plan (^^, v) limitée par un contour fermé C. Nous admettrons que les fonctions/, (p, i/^ ainsi que leurs dérivées partielles, sont continues dans cette région; R étant décomposée en parties plus petites, soit r/ une de ces parties, limitée par un contour c/, et co/ l'aire de r/. A la région r,- correspond sur S une portion si limitée par un contour yi; soit o*,- l'aire plane correspondante que nous venons de définir. Nous allons chercher une

expression du rapport — •

Désignons par a/, p,-, y, les cosinus directeurs de la normale à la surface S en un point /w/ (a:/, yiy zi) de s^ qui correspond à un point (tti, \>i) de r/; le plan tangent en ce point a pour équation

La perpendiculaire à ce plan menée par un point M (a:, y^ z) du contour y,- a de même pour équations

X — rr Y — y ^ Z — z

et la projection M' du point M sur le plan tangent en mi a pour coordonnées

Y = — a/P/rr -h(a? h- ^})y — P/y^^ -+- p/(a/a:/4- p/j^/-h Yi-5/), . Z = — a/Y/^ — ^iVy -+- («/ -^ P? ^ — ï/(a/^/+ ^tyi-^^i^i)'

Supposons, pour fixer les idées, que le plan tangent en mi ne soit pas parallèle à Taxe des z. L'aire plane a-/ se projette sur le plan des xy suivant une aire plane o-^-, et Ton a la relation t^.=o-/|yi|. Quand le point (m, v) décrit le contour fermé c/, le point (X, Y) décrit, dans le plan xOy^ le contour de Taire plane o*^-, et l'on a^ comme le montre un calcul facile,

En appliquant la formule générale (17), on parvient donc à la relation

*' D(i£;, Pi) "^ P' D(w;, i^l) ^' D(ai, Pi)

u\^ v^\ étant les coordonnées d'un point du plan {u^ v) de la région r/. Si celte région est très petite, ce point (w^, v\) est très voisin du point (wi, vf) et l'on peut écrire

D(i£i, Pi)

H- Ex,

Sa/= Z(u/

D(m/, Vi)

D(wi, Pi) D(M/, P/)

D(Mô P|)

Y/ si

0 étant au plus égal à un en valeur absolue. Puisque les dérivées des fonctions f^ '^ , i^ sont continues dans la région R, on peut supposer les régions r/ assez petites pour que toutes les quantités e/, e^., ej soient moindres qu'un nombre positif arbitraire %. Le terme complémentaire sera certainement moindre en valeur absolue que 37^0, en désignant par û l'aire de la région R. Ce terme tend donc vers zéro, et la somme Sti a pour limite l'intégrale double

J «/jR)!

„EiZL^)+P^(^'^>

dudv,

a, ^, Y étant les cosinus directeurs de la normale à la surface S au point (i/, v).

Calculons ces cosinus. L'équation du plan langent est (n° 39)

Y y) 51fLi:> + , z - -) 5^^^ -O-