H. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. SOQ

on a donc

D(a,0 D(a, i^) D(a, p) V LD(a, p)J "*"•••

Si Ton prend le signe + dans le dernier rapport, il vient

une identité célèbre employée par Lagrange

(ab' — ba')^-i' (bc' — cby-h (ca'— ac'y

permet encore d'écrire la quantité sous le radical EG — F*, en posant

ErsS/^V, F = S— ", G=S/^~V, \du/ * du dv* \ài^ / ^

OÙ le signe S indique qu'il faut remplacer x par^, puis par z, et faire la somme. L'aire de la surface S est donc représentée par l'intégrale double

(28) A= rr )/EG-F*dudi^.

Les fonctions E, F, G jouent un rôle important dans l'étude des surfaces. Si l'on élève au carré les expressions de dx^ dy^ dz et qu'on les ajoute, il vient

Il est clair que les coefficients E, F, G ne dépendent pas du choix des axes de coordonnées, mais seulement de la surface S et des variables indépendantes ut\,v que l'on a prises. Si les variables tt, r, et la surface S sont réelles, EG — F^ est nécessairement positif.

132. Élément de surface. — L'expression y/EG -^ F^ dudv est l'élément d'aire de la surface S dans le système de coordonnées ({/, (^). L'aire de la petite portion de surface comprise entre les courbes (w), (tt-|-rfa), (i^), {y-^dv) a pour valeur exacte

3io

(y/EG — F* -f- e) du dçy e étant infiniment petit en même temps que du et rft^, et Ton voit comme plus haut qu'on peut négliger le terme £ du dv. Quelques considérations de Géométrie infinitésimale permettent de retrouver aisément la valeur de l'élément d'aire . En efiet, si nous assimilons la portion de surface considérée à un parallélogramme situé dans le plan tangent à S au point (c/, (^), l'aire sera égale au produit des longueurs des deux côtés par le sinus de l'angle des deux courbes (a) et {v). Si l'on confond de même l'accroissement de l'arc avec la difi(érentielle ds^ les longueurs des côtés seront, d'après la formule (29), >/Ëdu^ s/Gdv^ en supposant du et dv positifs. Quant à l'angle a des deux courbes, les paramètres directeurs des tangentes à ces courbes sont

dx dy dz dx dv dz ^

respectivement 3->T^>3->et-r-*-T->T-;ona donc

* du du du dv dv dv

cosa =

dx dx du dv

v/KS)VK

dxy

dv)

/ËG

t/FP "W^

et, par suite, sina = - — — ^ — • En faisant le produit, on retrouve

y EG

bien l'expression de l'élément d'aire. On peut remarquer, sur la formule qui donne cosa, que le coefficient F=o lorsque les deux familles de courbes u et (t^) forment un réseau orthogonal, et dans ce cas seulement.

Lorsque la surface S se réduit à un plan, on retrouve la valeur obtenue plus Aaw^(n°128). En effet, si l'on suppose ^{u, p) = o, on a

H^hm-

^ dx dx F =

du dv

du dv \ dv/ \ dv /

et la règle pour former le carré d'un déterminant donne

dx dx du dv

dy dy du dv