IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

dont la signification géométrique est évidente, car Xi i (xt — xu^)^ par exemple, représente le volume d'une tranche cylindrique ayant pour base la section faite par le plan x = Xi i , et pour hauteur la distance des deux plans voisins. Le volume cherché est donc la limite d'une somme de tranches cylindriques infiniment minces, définies comme la précédente; ce qui est bien conforme à la notion vulgaire du volume.

Si l'on connaît l'expression de l'aire Jl> en fonction de x^ le volume cherché s'obtient par une seule- quadrature. Supposons, par exemple, qu'on veuille avoir le volume compris entre une surface de révolution et deux plans perpendiculaires à l'axe. Cet axe étant pris pour axe des x^ soit z =f(^x) l'équation de la méridienne dans le plan des xz, la section par un plan parallèle au plan des yz est un cercle de rayon y( a:) et le volume cherché

a pour expression iz j [f{x)ydx.

Cherchons encore le volume de l'ellipsoïde

compris entre les deux plans x = Xq, :r = X. La section par un plan parallèle à x = o est une ellipse dont les demi-axes sont

égaux à 61/ I i> ^l/ï l'f on a donc pour le volume

cherché

V= / Tzbcli ~\dx=^ itbc(X — Xo t ^ ) *

Pour avoir le volume total, il suffira de prendre Xq= — a, X = a, ce qui donne ^ izabc,

138. Volume limité par une surface réglée. — Lorsque Taire Jli est une fonction entière et du second degré de x, le volume s'exprime très simplement au moyen des aires B, B', b des deux sections extrêmes et de la section moyenne, et de la distance h des deux sections extrêmes. Si l'on prend le plan de la section moyenne pour plan des yZy on a

V= / {lx^-\'2mx-^ n)dx = !il

y -h2/ia;

d'autre part, on a,

A = 2a, b = n, B = /a* -i- î ma -h 71, B'= /a* — 2/na-h/i,

et l'on en tire n = 6, a = - ^ a /a* = B -i- B' — a 6, ce qui conduit à la for-

mule

Cette formule s'applique en particulier au volume limité par deux plans parallèles et une surface réglée quelconque. Soient, en effet, ^ = ax-hp, z = bx -h q^es équations d'une droite mobile où a, b, />, q sont des fonctions continues d'un paramètre variable, qui reviennent à leurs valeurs initiales lorsque t croit de Cq à T. Cette droite décrit une surface réglée et l'aire de la section faite dans cette surface par un plan parallèle au plan x = o a pour expression (n"* 94)

cAi. = / {ax-^p){b'x -h q')dt,

= / {ax

a', b',p\ q' étant les dérivées de a, 6,/?, q par rapport à t\ ces dérivées peuvent être discontinues pour un nombre fini de valeurs de / entre fe et T, ce qui arrivera si la surface réglée se compose de plusieurs morceaux de surfaces distinctes. Nous pouvons encore écrire

ab'dt-^-x I {aq'-\-pb')dt-^ 1 pq'dt,

et les intégrales qui fîgurent dans le second membre sont évidemment indépendantes de x, La formule (4o) est donc applicable au volume cherché; on peut remarquer qu'elle donne la plupart des volumes que l'on calcule en géométrie élémentaire.

139. Problème de Viviani. — Sur un rayon OA d'une sphère de rayon R comme diamètre décrivons un cercle C, et proposons-nous de trouver le volume de la portion de sphère intérieure au cylindre de révolution ayant pour section droite le cercle G. Le centre de la sphère étant pris pour origine, le quart du volume cherché est égal à l'intégrale double

I ^JJ^K^^x^—y^dxdy,

étendue au demi-cercle décrit sur OA comme diamètre. Si nous passons aux coordonnées polaires p, o), l'angle co pourra varier de o à — et p de o