IV. -> APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GéOMÉTRIQUES
à R cos (xiy et l'on a encore
llReoMD
0 diii
ou
Si Ton retranche de la sphère la portion intérieure au cylindre considéré
Fig. 3i.
et au cylindre symétrique par rapport à 0^, le volume de la portion restante est égal à
L'aire Û de la surface de la sphère intérieure au cylindre précédent est donnée de même par la formule
û = 4 / / )/\-^p^-^q^dxdy\
remplaçons p tx, q par leurs valeurs et — — > et passons aux coordonnées polaires. Il vient
« ^Rco.u, j^p^p
Reosu) > 0 «w,
OU encore
Û = 4R« r\i — sina>)ûra) = 4R«/^- -iV Si Ton retranche de la surface totale de la sphère la portion intérieure aux
3a4 CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOURLEP.
deux cylindres, Taire de la partie restante est égale à
140. Calcul d'intégrales définies particulières. — Les différents tliéorèmes qui ont été établis, tels que les théorèmes sur la diffe-
rentîation ou Pintégration sous le signe /, permetteut quelquefois
de calculer la valeur de certaines intégrales déGnies, sans que Ton connaisse Fintégrale indéfinie. Nous allons en donner quelques exemples.
Soit
A = F(a)= r"î^^iill^>./^;
la formule de différentîation sous le signe / donne
rfA log(i-+- g') r * xdx
dcL ~^ i-ha« J^ (n-a3r)(n-a7«)"
Mais on a, en décomposant en fractions simples,
(H- aa:)(n-a?*) ~ i -h a* \ i-H a?> i-h axj et par suite
J/»« xdx lofi;(i-4-a*) a I : w r: = 7^ vr- "• ; a»'c tangx.
^ (i-l-aa?)(i-ha:*) 2(n-a*) i -i- a* ^
Il reste donc
d\ a ^ iog(n-a«)
-j- = i arctangaH ^ —- ',
doL n-a> ° 2(1-»- a*)
et, en observant que A est nul pour a = o, on peut écrire
A= / — ^7^^ — ^ûfa-h / r arctangae/a:
en intégrant par parties la première intégrale, il vient
A = - arc tanga log(i -h «•).
