IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

Considérons encore la fonction x^; elle est continue lorsque x varie de o à i, et j^ de a à 6, les deux nombres a et 6 étant positifs. On a donc, d'après la formule générale (n^ 1^3),

Jf dx I x7dy =z j dy j xvdx.

Mais / xydx:=>( \ = > et, par conséquent, le.

second membre a pour valeur

D'autre part, on a aussi 1 xydy^=.{-, j = -j^^^ — » et il

vient

* ar* — x^

D'une façon générale, soient P(x,^), Q(^,^) deux fonctions telles que Ton ait-j- = -4^> et j?©» ^i»^o>^<) des constantes. On

a, d'après la formule d'intégration sous le signe / ,

c est-à-dire

(41) f '[P(^,ri)-P(^»ro)]«^= r *[Q(^i,>^)-Q(aro,j')]rf^.

Cauchy a déduit de là un grand nombre d'intégrales définies. La formule (4 >) ^^ rattache d'ailleurs de la façon la plus simple à la formule de Green, dont elle n'est au fond qu'un cas particulier. Il suffit, en effet, d'appliquer cette formule à l'intégrale curviligne

I P dx-^ Q^dy^ prise le long du contour du rectangle formé par

les droites x = ^r©, x = Xt^y =^oî y =y* •

Voici encore un exemple d'intégrale définie calculée par un artifice tout particulier. L'intégrale

F(a)= / log(i — 2acosa?-ha*)d!a!r

a une valeur finie pourvu que |a| soit différent de un. Cette fonction F (a) possède les propriétés suivantes : ,o F(— a) = F(a). En effet, on a

F( — a) = / log(i-t- 2acosa7-i- a*)rfa7,

ou, en changeant x en t — y,

F( — a) = / log(i — aacosj^-+-a*)rf^ = F(a).

2** F(a2) = 2F(a). Nous pouvons écrire en effet

aF(a) = F(a)-hF(— a),

ou a"'

F(a)=: / [log(i — aacosxH- a*) -+- log(n-2acosa7-t- a')] ^ ~ I log(i — 2a* cos2a7-Ha*) û?ar.

Posons iix=y] il vient

F(a) = - / Iog(i — ^ a^ cosy -^ OL^) dy -^ - j Iog(i — aa' cosj'-+- a*) û(^

si dans la dernière intégrale on pose encore y=2Tz — z^ on trouve

/ log(i — 'ia^ cosjr -\- a'') dy = j log(i — aa* cos^ -+- a*)rf-«

et par suite

aF(a) = ^ F(a») 4- ^ F(a«) = F(a»).

De la formule précédente on déduit successivement

Remarquons maintenant que si ja{ est inférieur à un, a*' tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment; il en est de même de F (a'"), car le logarithme tend vers zéro. On a donc, si |a| < i,