IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GEOMETRIQUES

Lorsque |a| est supérieur à un, on a, en posant ol= -xy

p,.,= r ,.,(, iip.jL)^

= / log(i— 2p cos.r-i- p«)rfa7 — iclog^*;

I ^1 étant inférieur à un, il reste

F(a) = — irlogp* = i:ïoga^.

L'intégrale définie F (a) est, comme on voit, une fonction discontinue de a, pour les valeurs a = ±: i .

141. Valeur approchée de logr(/i -hi). — On peut employer aussi des artifices très variés pour avoir, sinon la valeur exacte, du moins une valeur approchée d'une intégrale définie. Nous allons en donner un exemple. On a, par définition

la fonction x'^e-^ est maximum pour x = n et sa valeur maximum est n^e-». Lorsque x croît de o à n, x"e-' croît de o à 7i'*c-'»(/i >o), et lorsque x croît de /i à -f-ao, x^c^ décroît de n^e-^ à o. La fonction n"e-"e—^* croît de même de o à /i^c-" lorsque t croît de — oo à o, pour décroître ensuite de /i«e-'* à o, lorsque t croît de o à -4-oo. Nous pouvons donc, en faisant le changement de variable

(4a) ir"e-^= n^e-^e-'',

faire correspondre les valeurs de â: et de ^ de telle façon que, t croissant

de — 00 à -h 00, a? croisse de o à H- ».

dx Il nous faut encore calculer -j- • En prenant les dérivées logarithmiques

des deux membres de la formule (4^)) il vient

dx itx

dt X — n D'autre part, on a aussi, d'après la formule (4^)»

/* = ar — n — n log ( — ) • Posons, pour faciliter le calcul, 3?= n-4->5 et développons log( n — j

3'2d CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

par la formule de Taylor limitée au second terme ; nous trouvons 0 étant compris entre zéro et i. On en tire successivement

et la formule du changement de variable donne, par suite, r(7i-hi) = 2/i«e-«i/- i c-'V^-h 2n«c-» r e-^*{i — ^)ldt. La première intégrale

Quant à la seconde intégrale, on ne peut la calculer exactement, puisqu'on ne connaît pas 6, mais il est facile d'en trouver une limite. En eiïet, entre — 00 et zéro, tous les éléments sont négatifs; ils sont tous positifs de zéro

à + X. D'ailleurs, chacune des intégrales / ) / est moindre en valeur

absolue que / te—^'dt = -• Nous pouvons donc écrire «/o ^

(43) r(7l -+-!)= /27ï/l«C-«( /icH--^^,

to étant compris entre — i et -i- i.

Si n est un nombre très grand, --=r est très petit, et, en prenant pour

valeur approchée de r(/n- 1),

r(7H-i) = 7i'*c-'*/2/nT,

Terreur relative est très petite, quoique Terreur absolue puisse être considérable. En prenant les logarithmes des deux membres de la formule (43), on a aussi

(44) logr(n 4- 1) = T/iH- ^ j log n — 71 4- i log(2ir) -f- e,

t étant très petit, lorsque n est très grand. En négligeant t, on a ce qu'on