IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

appelle la valeur asymptotique de logr(/i -4- 1). Cette formule est intéressante, parce qu'elle nous fait connaître Tordre de grandeur d'une factorielle.

142. Théorème de d'Alembert* — La formule d'intégration sous le

signe / s'applique à toute fonction /(rr, y) continue dans le rectangle

d'intégration. Si, en calculant de deux façons différentes l'intégrale double d'une fonction /(a?, /), on obtient deux résultats inégaux, on peut donc affirmer que cette fonction est discontinue en un point au moins du champ d'intégration. Gauss a déduit de cette remarque une élégante démonstration du théorème de d'Âlembert.

Soit ¥{z) un polynôme entier en z de degré m, dont nous supposerons» pour fixer les idées, les coefficients réels. En remplaçant z par

p(cos(u-+- tsino)),

et séparant les parties réelles et les parties imaginaires, on peut écrire

F(z) = P-i-iQ, en posant

P = /Vop'"cosmu> -H Atp'"-*cos(m — i)ci)-i-. . ., Q = Aop*^ sin rrnù -h Aip*"-* sin(/n — i )a) -H. . . .

Soit V la fonction arc tang^?; on a

dV ^ dp âp d\ ^ âu} dîù

dp ^ pi-hQ» ' d(x}^ P»-hQ* '

et, sans qu'il soit nécessaire de développer le calcul, on voit que la dérivée

seconde , . est de la forme op oui

dpdtxi "" (P«-f-Q»)*'

M étant une fonction continue de p et de b>. Cette dérivée seôonde ne peut devenir discontinue que pour les systèmes de valeurs (p, w) qui annulent à la fois P et Q, c'est-à-dire pour les racines de l'équation F{z) = o. Si donc on démontre que les deux intégrales

sont inégales, pour une valeur donnée de R, on peut en conclure que l'équation ¥{z) = oa au moins une racine de module inférieur à R. Or la

X*^ d^\ rd\'\^=^

33o EXERCICES.

et -r- est une fonction périodique de <o, de période 2?:. Calculons de même la première intégrale; on a

et un calcul facile montre que -r— est de la forme

les termes non écrits étant de degré inférieur à 2 m en p, et le numérateur

n'ayant pas de terme indépendant de p. Lorsque p augmente indéfiniment,

le second membre a pour limite — m; on peut donc choisir R assez grand

dV pour que la valeur de -r— » pour p = R, soit égale à — m-h e, t étant infé-

f ( — m-+-t)d(a est évidem-

ment négative et, par conséquent, la première des intégrales (45) ne peut être nulle.

i. En un point quelconque M de la chaînette définie en coordonnées rectangulaires par Téquation

on mène la tangente que Ton prolonge jusqu'à son point de rencontre T avec l'axe Occ, puis on fait tourner la figure autour de cet axe. Exprimer la différence des aires décrites par l'arc de chaînette AM, A étant le sommet de la chaînette, et par la tangente MT : i* en fonction de l'abscisse du point M; 2° en fonction de l'abscisse du point T.

[Licence : Paris, 1880.]

S. Soient Oa?, Oy, Oz trois axes rectangulaires. Une surface réglée est engendrée de la manière suivante : le plan zO\ tourne autour de O^; la génératrice D, située dans ce plan, fait avec Oz un angle constant dont la tangente est X; elle intercepte sur OA un segment OC égal à XaQ, a désignant une ligne donnée et 9 l'angle des deux plans zOx, zOA.

I® Calculer le volume limité par la surface réglée et les plans xOy^

zOxj zOXf l'angle 0 des deux derniers étant moindre que 27c;

7.^ Calculer Taire de la portion de surface limitée par les plans xOyt

zOxy ^OA.

[Licence : Paris, juillet, 1882.]

3. Soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires. Calculer le volume ] imité par la surface du paraboloïde elliptique qui a pour équation

iz x^ y^ c "^ p^ q^

le plan des xy et la surface du cylindre b-x^ h- à^y^ = a' 6*.

[Licence : Paris, 1882.]

4. Evaluer Taire du quadrilatère curviligne déterminé par les quatre coniques homofocales

qui correspondent aux valeurs -— > "7~' ~ô-' ~~ô~ ^® ^'

[Licence : Besançon, i885.]